Travelling wave solutions of the heat equation in an unbounded cylinder with a non-linear boundary condition

Kyed, Mads; Lugscheider, Erich

doi:1106

Travelling wave solutions of the heat equation in an unbounded cylinder with a non-linear boundary condition

Kyed, Mads (Author)

2005

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Mads Kyed

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2005

UmfangVI, 75 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2005

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Lugscheider, Erich (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2001-12-05

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-11066
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/59933/files/Kyed_Mads.pdf

Einrichtungen

Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften (100000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Wärmeleitungsgleichung (Genormte SW) ; nichtlineares Randwertproblem (Genormte SW) ; fortschreitende Wellenlösung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; semilinear parabolic equations (frei) ; semilinear elliptic equations (frei) ; cylindrical domains (frei) ; nonlinear boundary condition (frei) ; travelling wave (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Sei $Omega$ ein beschränktes Gebiet in $R^2$. Die Existenz von fortschreitenden Wellenlösungen der Wärmeleitungsgleichung in dem unbeschränkten Zylinder $RimesOmega$ mit der nicht-linearen Randbedingung $partial u over partial n = f(u)$ wird untersucht. Dieses Problem reduziert sich auf die elliptische partielle Differentialgleichung $Delta u - c partial_x u = 0$ für $(x,y)inRimesOmega$ mit $partial u over partial n = f(u)$ auf $RimespartialOmega$. Das Hauptresultat zeigt die Existenz von Lösungen dieser Gleichung für eine große Klasse von Nichtlinearitäten $f$. Darüber hinaus wird das asymptotische Verhalten in $x=pminfty$ untersucht und Regularitätseigenschaften nachgewiesen. Um die Existenz zu zeigen, werden direkte variationelle Methoden benutzt. Eine schwache Lösung der Gleichung wird durch die Überführung der Gleichung in ein Minimierungsproblem mit Nebenbedingung gefunden. Das Minimierungsproblem wird in einem gewichteten Sobolev-Raum gestellt. Wegen der Unbeschränktheit des Zylinders tritt dabei das Problem der mangelnden Kompaktheit auf. Dies wird durch die Einführung eines geeigneten Approximationsproblems gelöst.

Let $Omega$ be a bounded domain in $R^2$. The existence of travelling wave solutions for the heat equation in the unbounded cylinder $RimesOmega$ subject to the nonlinear boundary condition $partial u over partial n = f(u)$ is investigated. Finding such a solution amounts to solving the elliptic PDE $Delta u - c partial_x u = 0$ for $(x,y)inRimesOmega$ with $partial u over partial n = f(u)$ on $RimespartialOmega$. The main result is the existence of a non-trivial solution of this equation for a large class of non-linearities $f$. Additionally, asymptotic behavior at $x=pminfty$ and regularity properties are established. A variational approach is used. More specifically, a weak solution is found as the minimizer of a constrained minimization problem posed in a weighted Sobolev space. Due to underlying domain $RimesOmega$ being unbounded, this problem suffers from a lack of compactness. The problem is solved using a suitable approximation.

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