An adaptive multiresolution discontinuous Galerkin scheme for conservation laws

Gerhard, Nils; Dahmen, Wolfgang; Müller, Siegfried

doi:36353

An adaptive multiresolution discontinuous Galerkin scheme for conservation laws = Ein adaptives multiskalen unstetiges Galerkin Verfahren für Erhaltungsgleichungen

Gerhard, Nils

2017

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Nils Gerhard, M.Sc.

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (162 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Müller, Siegfried (Thesis advisor) ; Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-07-06

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2017-06869
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/696479/files/696479.pdf
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/696479/files/696479.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Discontinuous Galerkin (frei) ; Adaptive Methods (frei) ; Wavelets (frei) ; Multiwavelets (frei) ; Finite Elemente (frei) ; Erhaltungsgleichungen (frei) ; Strömungssimulation (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit wird die Entwicklung von adaptiven multiskalen-basierten discontinuous-Galerkin Verfahren für Erhaltungsgleichungen betrachtet. Die Grundidee dieses Konzeptes besteht darin, ein gegebenes Referenzverfahren auf einem uniform verfeinerten Gitter zu beschleunigen, indem auf einem lokal adaptierten (gröberen) Gitter gerechnet wird. Dabei ist das Ziel, die Genauigkeit des Referenzverfahrens zu erhalten. Diese Gitteradaption wird auf Grundlage einer Multiskalenanalyse durchgeführt, bei der die zugrunde liegenden Daten der aktuellen Lösung auf dem Referenzgitter als Daten auf einem Grobgitter und Differenzinformationen zugehörig zu den aufeinanderfolgenden Verfeinerungsleveln dargestellt werden. Mittels lokaler Ausdünnung von kleinen Differenzinformationen, auch Details genannt, wird ein adaptives Gitter bestimmt. In der vorausgegangenen Arbeit von N. Hovhannisyan, S. Müller und R. Schäfer (Math. Comp., 2014) ist das Basiskonzept für räumlich eindimensionale skalare Erhaltungsgleichungen entwickelt und untersucht worden. Hierbei sind uniforme dyadische Gitterhierarchien verwendet worden. Dies stellt eine starke Einschränkung des Anwendungsbereiches dar. Um diese Beschränkungen zu überwinden, sind die Ziele dieser Arbeit (i) die Entwicklung einer wavelet-freien Multiskalenanalyse, um das Konzept auf nicht-uniforme Hierarchien anwenden zu können, (ii) die Herleitung einer robusten und zuverlässigen Strategie zur Wahl des Schwellenwertes, welcher zur Ausdünnung verwendet wird, (iii) die Bereitstellung einer Strategie zur Behandlung von Nebenbedingungen der zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung und (iv) die Validierung für mehrdimensionale Systeme von Erhaltungsgleichungen.Ein kritischer Punkt in der Umsetzung des adaptiven Verfahrens ist die Konstruktion von geeigneten Basen bzw. Erzeugendensystemen für die Differenzräume. Die explizite Konstruktion einer solchen Basis ist sehr aufwändig und es ist daher von Interesse diese zu vermeiden. Daher wird in dieser Arbeit ein alternativer Ansatz zur Umsetzung der Gitteradaption entwickelt, der ohne die explizite Konstruktion einer Basis auskommt und eine Anwendung des Konzeptes auf beliebige, geschachtelte Gitterhierarchien ermöglicht.Die Effizienz und Zuverlässigkeit des adaptiven Verfahrens hängt stark von der Wahl der lokalen Schwellenwerte ab. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit eine robuste und zuverlässige Strategie zur Wahl der lokalen Schwellenwerte entwickelt, welche weder Tuning noch Parameterfitting oder Rechnungen mit dem Referenzverfahren auf einem uniformen voll verfeinerten Gitter benötigt.Viele Probleme sind an Nebenbedingungen geknüpft. Exemplarisch werden in dieser Arbeit solche Nebenbedingungen im Kontext der Flachwassergleichungen betrachtet. Ein Discontinuous-Galerkin Verfahren für diese Gleichungen muss (i) in der Lage sein einen ausbalancierten Zustand über eine nicht konstante Bodentopographie zu erhalten und (ii) garantieren, dass die Wasserhöhe nicht negativ wird. Lokale Gitteradaption kann diese Bedingungen verletzen. Daher wird in dieser Arbeit eine Strategie entwickelt und analysiert, welche die Einhaltung der genannten Bedingungen in der Gitteradaption garantiert.Um das Konzept zu validieren, werden numerische Ergebnisse für wohlbekannte Benchmark-Testfälle der Burgers Gleichung, der kompressiblen Euler-Gleichungen, der Flachwassergleichungen und der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen präsentiert. Diese demonstrieren, dass das adaptive Verfahren in der Lage ist, die Rechnungen unter Beibehaltung der Genauigkeit des Referenzverfahrens signifikant zu beschleunigen.

This thesis focuses on the development of adaptive multiresolution-based discontinuous Galerkin schemes for conservation laws. The key idea of this concept is to accelerate a given reference scheme on a uniformly refined grid by computing actually only on a locally adapted subgrid while maintaining its accuracy. The dynamical grid adaptation is based on a multiresolution analysis of the underlying data, where the data corresponding to the current solution are represented as data on some coarse level and difference information called details corresponding to successive refinement levels. By local thresholding of small details the adaptive grid is determined. In previous work by N. Hovhannisyan, S. Müller and R. Schäfer (Math. Comp., 2014) the basic concept has been introduced and investigated for one-dimensional scalar problems using uniform dyadic grid hierarchies. This setting significantly restricts the range of application. To overcome this limitation the present thesis aims at (i) developing a wavelet-free multiresolution analysis to deal with non-uniform grid hierarchies, (ii) deriving a reliable and efficient strategy to choose the threshold parameters, (iii) providing a strategy to deal with constraints of the underlying partial differential equations and (iv) validating the concept for non-linear systems of conservation laws in multiple space dimensions. A crucial part in the realization of the adaptive scheme is the construction of generators for the details in difference spaces. The construction of a basis for these spaces is computationally costly. To overcome this issue an alternative approach to realize the grid adaptation is developed which does not rely on the construction of these bases functions and enables a straightforward application of the adaptive strategy to arbitrary nested grid hierarchies. The efficiency and reliability of the adaptive scheme is strongly influenced by the choice of the local threshold values. For that purpose, a robust and reliable strategy is developed for choosing the local threshold values without any tuning, parameter fitting or need of computing a solution on the (uniform) reference grid. Many problems are subjected to constraints. Exemplarily, constraints in the context of the shallow water equations are considered. In particular, a discontinuous Galerkin scheme for the shallow water equations must be able to preserve steady states over non-constant topography as well as positive values of depth. Local grid adaptation might spoil these discrete constraints. For that purpose, a strategy to deal with these constraints is developed and it is proven that they are maintained during grid adaption. For the purpose of validating the concept, adaptive computations have been performed for several well-known benchmark test cases for the Burgers' equation, the compressible Euler equations, the shallow water equations as well as the compressible Navier-Stokes equations. These show that the adaptive scheme is capable of accelerating the reference scheme significantly while maintaining its accuracy.

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