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001002384 245__ $$aOrthogonal determinants of finite groups of Lie type$$cvorgelegt von Linda Marie Hoyer$$honline
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001002384 500__ $$aVeröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2025
001002384 502__ $$aDissertation, RWTH Aachen University, 2024$$bDissertation$$cRWTH Aachen University$$d2024$$gFak01$$o2024-12-04
001002384 5203_ $$_Wir nennen $\det(\chi)$ die $orthogonale$ $Determinante$ von $\chi$. Im Rahmen der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen bilden die Gruppen vom Lie-Typ die größte Klasse unter diesen. Beispiele von endlichen Gruppen vom Lie-Typ beinhalten $\mathrm{SL}_n(q), \mathrm{GL}_n(q)$ und $\mathrm{SU}_n(q)$ für $q$ eine Primzahlpotenz.Das Ziel dieser Dissertation ist, Methoden zur Berechnung von den orthogonalen Determinanten für endlichen Gruppe vom Lie-Typ vorzustellen. Sei $G:=G(q)$ eine endliche Gruppe vom Lie-Typ mit Parameter $q$ und $\chi \in \mathrm{Irr}^+(G)$. Wir zeigen, dass wenn $q$ ungerade ist, eine Art "Jordan-Zerlegung" von $\det(\chi)=\det(\chi_U) \det(\chi_T)$ existiert, also eine Zerlegung in einen unipotenten Teil $\det(\chi_U)$ und einen halbeinfachen Teil $\det(\chi_T)$. Im Gegensatz zur relativ einfachen Berechnung von $\det(\chi_U)$ erweist sich die Bestimmung von $\det(\chi_T)$ als eine Herausforderung. Hierfür verwenden wir die Theorie der Iwahori--Hecke Algebren, was Deformationen von Coxeter-Gruppen sind, und Erweiterungen hiervon.Die Arbeit besteht aus 6 Kapiteln. Nach der Einleitung wird in zwei Kapiteln die Theorie von orthogonalen Determinanten und der Gruppen vom Lie-Typ eingeführt. Anschließend folgt ein Kapitel über Coxeter-Gruppen, wo die orthogonalen Determinanten von allen Coxeter-Gruppen, als auch die der alternierenden Gruppen und einiger Iwahori--Hecke Algebren, bestimmt werden. Im fünften Kapitel beschreiben wir dann die orthogonalen Determinanten für die Gruppen vom Lie-Typ, wo wir auch einige Beispiele wie $\mathrm{SL}_3(q)$ und $G_2(q)$ betrachten. Abschließend behandeln wir im letzten Kapitel die Gruppen $\mathrm{GL}_n(q)$, wo wir eine komplette Beschreibung erreichen.$$_existiert, sodass für alle Darstellungen $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$ mit Character $\chi$ über einen beliebigen Körper $K/\mathbb{Q}(\chi)$ und alle $\rho(G)$-invarianten, nicht-ausgearteten Bilinearformen $\beta$ gilt, dass
001002384 5203_ $$aEine $\textit{orthogonale Darstellung}$ einer endlichen Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$, für eine natürliche Zahl $n$ und einen Körper $K \subseteq \mathbb{R}$. Analog nennen wir einen Character  $\chi$ von $G$ orthogonal, falls eine zugehörige Darstellung orthogonal ist. Nebe (2022) hat gezeigt, dass wenn $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ ein orthogonaler Character von geradem Grad ist ($\chi \in  \mathrm{Irr}^+(G)$), ein eindeutiges Element$$lger$$\det(\beta)=d \cdot (K^{\times})^2.$$\det(\chi):=d \in \mathbb{Q}(\chi)^{\times}/(\mathbb{Q}(\chi)^{\times})^2
001002384 520__ $$_such that for any representation $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$ affording $\chi$ over an arbitrary field $K/\mathbb{Q}(\chi)$ and all $\rho(G)$-invariant, non-degenerate bilinear forms $\beta$, it holds that$$_We say that $\det(\chi)$ is the $\textit{orthogonal determinant}$ of $\chi$.As part of the classification of finite simple groups, the groups of Lie type form the largest class among them. Examples of finite groups of Lie type include $\mathrm{SL}_n(q), \mathrm{GL}_n(q)$ and $\mathrm{SU}_n(q)$ for $q$ a prime power. The goal of this thesis is to present methods for the calculation of the orthogonal determinants of the finite groups of Lie type. Let $G:=G(q)$ be a finite group of Lie type with parameter $q$ and let $\chi \in \mathrm{Irr}^+(G)$. Given that $q$ is odd, we show that there is some sort of "Jordan decomposition" of $\det(\chi)=\det(\chi_U) \det(\chi_T)$, i.e., a decomposition into a unipotent part  $\det(\chi_U)$ and a semisimple part $\det(\chi_T)$.In contrary to the relatively easy determination of $\det(\chi_U)$, the calculation of $\det(\chi_T)$ proves to be a challenge. For that, we apply the theory of Iwahori--Hecke algebras, which are deformations of Coxeter groups, and extensions thereof.The thesis consists of 6 chapters. After the introduction, the following two chapters establish the theory of orthogonal determinants and finite groups of Lie type. Afterwards we will consider Coxeter groups, where the orthogonal determinants of all Coxeter groups, as well as the alternating groups and some Iwahori--Hecke algebras, are covered. In the fifth chapter, we will describe orthogonal determinants of finite groups of Lie type, where we will also consider some examples like $\mathrm{SL}_3(q)$ and $G_2(q)$. In the final chapter, we handle the groups $\mathrm{GL}_n(q)$, where we accomplish a complete description of the orthogonal determinants.
001002384 520__ $$aAn $orthogonal$ representation of a finite group $G$ is a homomorphism $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$, for a natural number $n$ and a field $K \subseteq \mathbb{R}$. Analogously, we say a character $\chi$ of $G$ is orthogonal if any corresponding representation is orthogonal.Nebe (2022) showed that for an orthogonal character $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ of even degree ($\chi \in  \mathrm{Irr}^+(G)$), there exists a unique element$$leng$$\det(\chi):=d \in \mathbb{Q}(\chi)^{\times}/(\mathbb{Q}(\chi)^{\times})^2,$$\det(\beta)=d \cdot (K^{\times})^2.
001002384 536__ $$0G:(GEPRIS)286237555$$aTRR 195: Symbolische Werkzeuge in der Mathematik und ihre Anwendung  (286237555)$$c286237555$$x0
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