Adaptive discretization methods for the global solution of semi-infinite optimization problems

Zingler, Aron; Stein, Oliver; Mitsos, Alexander

doi:44327

Adaptive discretization methods for the global solution of semi-infinite optimization problems = Adaptive Diskretisierungsmethoden für die globale Lösung von semi-infiniten Optimierungsproblemen

Zingler, Aron^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Aron Zingler

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

ReiheAachener Verfahrenstechnik series - AVT.SVT - Process systems engineering ; 37

Dissertation, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, 2025

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak04

Hauptberichter/Gutachter
Mitsos, Alexander (Thesis advisor)^RWTH* ; Stein, Oliver (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-05-09

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-05006
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1012463/files/1012463.pdf

Einrichtungen

Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik (416710)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
generalized semi-infinite optimization (frei) ; global optimization (frei) ; optimization under uncertainty (frei) ; robust optimization (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 620

Kurzfassung
Semi-infinite Optimierungsprobleme treten natürlicherweise in verschiedenen Anwendungen insbesondere bei der Optimierung unter Unsicherheiten auf. Semi-infinite Optimierungsprobleme sind Optimierungsprobleme, die zwar eine endliche Anzahl an Freiheitsgraden, jedoch eine unendliche Anzahl an Nebenbedingungen aufweisen. Diese Arbeit betrachtet Methoden zur Lösung solcher Probleme, die einem adaptiven Diskretisierungsansatz folgen, wendet diese an und entwickelt diese weiter. Zunächst wird der auf adaptiver Diskretisierung basierende Ansatz auf ein Problem zur Maximierung der Flexibilität in Stromübertragungsnetzen angewendet. Konkret werden einstellbare Netzparameter optimiert, um den Bereich zulässiger Abweichungen von den prognostizierten Lasten zu maximieren, innerhalb dessen der sichere Netzbetrieb durch geeignete Steuerungsmaßnahmen gewährleistet werden kann. Da das Modell neben den veränderbaren Parametern auch Steuerungsgrößen berücksichtigt, wird ein bestehender Algorithmus zur Lösung von Problemen mit Existenznebenbedingungen erweitert und angewandt. Ausgehend von der Erfahrung in dieser praktisch motivierten Problemstellung werden Verbesserungspotenziale identifiziert und im Folgenden bearbeitet. Um die Zugänglichkeit der diskutierten Methoden zu verbessern, wird zunächst ein Softwarepaket vorgestellt, das die nutzerfreundliche Modellierung und Lösung mit bereits veröffentlichten adaptiven Diskretisierungsalgorithmen ermöglicht. Die verfügbaren Algorithmen und wichtige involvierter Parameter werden auf einem großen, aus Literaturproblemen zusammengestellten Testsatz getestet und verglichen. Neben den implementierten Algorithmen bietet die als Open-Source veröffentlichte Software auch die Möglichkeit, neue adaptive Diskretisierungsalgorithmen zu entwickeln oder bestehende zu spezialisieren. Im weiteren Verlauf der Arbeit werden verallgemeinerte semi-infinite Optimierungsprobleme mit koppelnden Gleichheitsnebenbedingungen betrachtet. Vorherige Arbeiten hatten bereits Lösungsansätze auf Grundlage von Diskretisierung unter einer Eindeutigkeitsannahme vorgeschlagen. Hier wird ein Vorschlag entwickelt, wie diese Annahme zugunsten der Annahme, dass Lösungen der koppelnden Gleichheitsnebenbedingungen lokal stabil sind, gelockert werden kann. Es werden konkrete Varianten des abstrakten Vorschlags für Fälle entwickelt, in denen i) eine Lipschitzkonstante bezüglich der Lösungsmenge der Gleichheitsbedingungen bekannt ist, ii) voller Rang der Jacobi der koppelnden Gleichheitsnebenbedingungen angenommen wird, oder iii) diese linear sind. Diese Varianten werden implementiert und in numerischen Fallstudien erfolgreich angewandt. Abschließend wird untersucht, inwiefern die Verwendung von Informationen, die aus der Ableitung der semi-infiniten Nebenbedingung gewonnen werden, zur effizienteren Lösung von semi-infiniten Problemen beitragen kann. Zu diesem Zweck wird zunächst ein Ansatz zur Integration von Ableitungsinformationen in das Teilproblem entwickelt, welches zur Bestimmung von unteren Schranken dient. Dieses Teilproblem wird dann in einem modifizierten Diskretisierungsalgorithmus eingesetzt und mit der traditionellen Methode verglichen, bei der keine Ableitungsinformationen verwendet werden, sowie mit bestehenden Ansätzen, die Ableitungsinformationen in anderer Weise berücksichtigen.

Semi-infinite optimization problems occur naturally in different applications, particularly in the context of optimization under uncertainty. Semi-infinite optimization problems are optimization problems containing a finite number of degrees of freedom but an infinite number of constraints. This thesis considers adaptive discretization-based methods for their solution, both extending and applying existing methods. First, the adaptive discretization-based approach is applied to a problem maximizing flexibility in power transmission grids. Specifically, adjustable grid parameters are optimized in order to maximize the range of permissible deviations from predicted loads where safe grid operation can be maintained through appropriate control actions. As the model also considers control actions, an existing algorithm for solving existence-constrained semi-infinite problems is extended, specialized and applied. Based on the experience gained in this practically motivated problem, areas of improvements are identified and some of them are addressed in this thesis. To improve the accessibility and applicability of the discussed discretization-based methods, a software framework is presented that enables users to model hierarchical optimization problems and apply existing adaptive discretization-based algorithms. The implemented solvers, as well as different choice of important hyperparameters, are compared on a large set of test problems, compiled from the literature. In addition to easy access to the already implemented algorithms, the open-source framework facilitates the development of new or specialized adaptive discretization-based algorithms. Consequently, generalized semi-infinite problems with coupling equality constraints are considered. Previous work had already proposed solutions based on discretization under a uniqueness assumption. A proposal is developed to relax this assumption in favor of assuming local stability of the solutions to the coupling equality constraints. The abstract proposal is concretized into variants for the cases where i) a Lipschitz constant regarding the solution set of the equality constraints is known, ii) full rank of the Jacobian of the coupling equality is assumed, or iii) the coupling equality constraints are linear. These variants are implemented and successfully applied in numerical case studies. Finally, the utility of using derivative information of the semi-infinite constraint is investigated. To this end, an approach is first developed to integrate derivation information into the lower-bounding subproblem. This subproblem is then used in a modified discretization algorithm and compared with the traditional method, which does not use derivative information, as well as with existing approaches that take derivative information into account.

OpenAccess:
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