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001022300 1001_ $$0P:(DE-82)IDM05652$$aBoisserée, Simon Melchior$$b0$$urwth
001022300 245__ $$aSpace-time adaptive methods for poroviscoelastic flow models$$cvorgelegt von Simon Boisserée$$honline
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001022300 500__ $$aVeröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2026
001022300 5203_ $$aIn dieser Arbeit betrachten wir ein Gleichungssystem aus der Geophysik, das bei der Modellierung von unterirdischen Wasser-, Magma- oder Gasströmen in einem poroviskoelastischen Medium auftritt. Wir beginnen mit der Herleitung der Modellgleichungen mit Porosität und effektivem Druck als zu lösenden Unbekannten, bevor wir sie entdimensionalisieren. Darüber hinaus betrachten wir zwei vereinfachte Modelle, nämlich den viskosen Limes sowie die Niedrigporositätsapproximation. Wir zeigen, dass die Analyse für das vollständige Modell und die Niedrigporositätsapproximation aufgrund einer Variablentransformation vereinheitlicht werden kann. Das bedeutet, dass wir lediglich den viskosen Limes separat betrachten müssen, um die Wohlgestelltheit der Gleichungen zu beweisen. Wir definieren einen Lösungsbegriff, der insbesondere Fälle mit unstetigen Porositäten miteinbezieht, da diese in der Natur häufig an der Grenze zwischen Sedimentschichten auftreten. Als Nächstes beweisen wir die Wohlgestelltheit für das viskoelastische Modell sowie den viskosen Limes. Meist kombinieren wir dafür eine Fixpunktiteration für die Porositätsgleichung mit Regularitätstheorie für die Gleichung zur Modellierung des effektiven Druckes. Dabei stellt sich heraus, dass die Wohlgestelltheit im viskosen Limes für sehr allgemeine unstetige initiale Porositäten nur dann folgt, wenn wir uns auf ein- oder zweidimensionale Gebiete beschränken. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die initiale Porosität eine Funktion beschränkter Variation ist und ein Kompaktheitsargument für Folgen von Näherungslösungen verwenden, erhalten wir die Existenz von Lösungen in beliebig hohen Dimensionen. Dies schließt alle praktisch relevanten unstetigen Anfangsdaten mit ein. Für das viskoelastische Modell verwenden wir ein ähnliches Fixpunktargument wie zuvor. Hier können wir die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für unstetige Anfangsdaten beweisen, allerdings nur unter der Annahme einer gewissen Hölderstetigkeit der Form der Unstetigkeiten sowie Hölderstetigkeit der Anfangsdaten abseits der Unstetigkeiten. Unter Verwendung derselben Fixpunktformulierung wie zuvor führen wir eine adaptive Raum-Zeit-Methode ein, um das viskoelastische Modell numerisch zu lösen. Eine leicht modifizierte Version dieser Methode kann auch verwendet werden, um den viskosen Limes zu behandeln. Außerdem beweisen wir Konvergenz und die Existenz von a posteriori Fehlerschätzern für diesen Ansatz. Danach stellen wir einige numerische Tests für geophysikalisch relevante Probleme vor. Für diese Tests zeigen wir numerisch, dass unsere Methoden quasi-optimale Annäherungen an die entsprechenden analytischen Lösungen erzeugen, unabhängig von der Existenz einer Unstetigkeit. Als geophysikalische Anwendung betrachten wir die Kopplung unserer Methode mit einem chemischen Transportproblem, da diese neue Erkenntnisse über die Entstehung chemischer Anomalien liefert, die beispielsweise zur Bildung von Erzlagerstätten führen können. Anschließend erörtern wir kurz andere mögliche Raum-Zeit-adaptive Ansätze zur Lösung des Modellproblems. Danach vergleichen wir unseren Ansatz mit einem Finite-Differenzen-Schema, wodurch sich herausstellt, dass diese Methode bei unstetigen Porositäten lediglich niedrige Konvergenzraten erreicht. Schließlich zeigen wir einige weitere Vorteile von Raum-Zeit-Methoden zur Lösung verwandter inverser Probleme. Wir zeigen zwei verschiedene Ansätze, um ein vereinfachtes Modellproblem zu invertieren.$$lger
001022300 520__ $$aIn this work we consider a system of equations that arises in geophysics when modeling subsurface flows of water, magma, or gases such as CO2 in a poroviscoelastic medium. We start by deriving the model equations in terms of porosity and effective pressure before transforming them into a nondimensional form. Furthermore, we state two simplified models directly arising from the full viscoelastic model, namely the viscous limit and low-porosity approximation. We demonstrate that the analysis for the full model and the low-porosity approximation can be unified due to a transformation of variables, implying that it only remains to show well-posedness for the viscous limit as a separate case. We define a notion of solution that includes discontinuous porosity distributions as they often occur in nature at the interface between sedimentary layers. We proceed by proving well-posedness of the viscoelastic model and the viscous limit. We mainly follow the idea of combining a fixed-point iteration for the porosity equation with regularity theory for the equation modeling the effective pressure. With this strategy, it turns out that in the viscous limit a result allowing very general discontinuous initial porosity distributions only follows if we restrict ourselves to one- and two-dimensional domains. However, by assuming that the initial porosity has a bounded total variation and by using a compactness argument for sequences of approximate solutions, we obtain existence of solutions also in arbitrary dimensions. This includes all practically relevant cases of discontinuous initial porosity distributions. For the viscoelastic model, we use a similar fixed-point argument as before. Here, we can prove existence and uniqueness of solutions for discontinuous initial porosity distributions, but only by assuming certain Hölder regularity of the shape of the discontinuities as well as Hölder smoothness of the initial functions away from the discontinuities. Using the same fixed-point formulation as before, we introduce an adaptive space-time method to solve the viscoelastic model numerically. This method can also be modified slightly to cover the viscous limit as well. Furthermore, we prove convergence and a posteriori error bounds for this approach. Then, we present some numerical tests for geophysically relevant problem settings. For these tests, we show numerically that our methods generate quasi-optimal approximations of the corresponding analytical solutions, independent of the presence of a discontinuity. As a geophysical application, we discuss the coupling of our method with a chemical transport problem since it provides new insights into the formation of chemical anomalies, which, for example, can lead to the formation of ore deposits in the Earth's subsurface. Then, we briefly discuss other possible space-time adaptive approaches to solving the model problem. Next, we compare our approach with a finite difference scheme, where it turns out that this method only reaches low convergence rates for discontinuous porosity distributions. Finally, we show some further advantages of space-time methods for solving related inverse problems. We present two different approaches that attempt to invert a simplified model problem.$$leng
001022300 536__ $$0G:(GEPRIS)442047500$$aDFG project G:(GEPRIS)442047500 - SFB 1481: Sparsity und singuläre Strukturen (442047500)$$c442047500$$x0
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