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Surface Navier-Stokes equations: numerical methods and analysis
2025 & 2026
Dissertation, RWTH Aachen University, 2025
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2026
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-12-16
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2026-00305
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1024750/files/1024750.pdf
Einrichtungen
Projekte
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
numerical analysis (frei) ; numerical methods (frei) ; surface Navier-Stokes equations (frei) ; surface PDEs (frei) ; traceFEM (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Diese Dissertation befasst sich mit der numerischen Behandlung von Navier–Stokes–Gleichungen auf sich bewegenden Oberflächen, wobei Konzepte aus der Modellierung von Oberflächenströmungen mit Trace–Finite–Elemente–Methoden und Diskretisierungsverfahren für Level–Set–Gleichungen kombiniert werden. Motiviert durch Anwendungen in biologischen Membranen, liegt der Schwerpunkt der Arbeit auf der numerischen Simulation von Strömungen auf deformierbaren Oberflächen. Es werden zwei Systeme betrachtet: das tangentiale Oberflächen–Navier–Stokes–System (TSNS), bei dem die Oberflächenbewegung vorgegeben ist, und das vollständige Oberflächen–Navier–Stokes–System (SNS), bei dem sowohl die Bewegung der Oberfläche als auch das Geschwindigkeitsfeld auf der Oberfläche unbekannt sind. Eine wesentliche Herausforderung im SNS ergibt sich aus der nichtlinearen Kopplung zwischen Geschwindigkeitsfeld und Entwicklung der Oberflächengeometrie. Die Arbeit bietet einen umfassenden Überblick und Vergleich bestehender Herleitungen des SNS, wobei unterschiedliche physikalische Prinzipien (Erhaltungssätze, Dünnschicht-Grenzfälle und energetische Variation) sowie Koordinatensysteme (lokal vs. global) zum Zuge kommen. Es wird gezeigt, dass die aus verschiedenen Modellierungsansätzen hergeleiteten TSNS äquivalent sind, während die SNS voneinander abweichen können. Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit besteht in der Entwicklung und Analyse numerischer Methoden auf Grundlage der Trace–Finite–Elemente–Methode (TraceFEM). TraceFEM verwendet ein Gitter im R3, das eine Diskretisierung ermöglicht, ohne dass eine Oberflächentriangulierung erforderlich ist. Die Konstruktion der Methoden, einschließlich Stabilisierungs- und Erweiterungstechniken, wird detailliert beschrieben. Für das TSNS wird eine Fehleranalyse durchgeführt, welche die Genauigkeit der Methode nachweist. Eine Erweiterung auf das SNS wird vorgestellt, wobei die zusätzlichen Herausforderungen (Kopplung zwischen Oberflächenverformung und Strömung) berücksichtigt werden. Darüber hinaus wird ein effizientes Narrow–Band–Verfahren für die Level–Set–Gleichung eingeführt, um die Deformation der Oberfläche darzustellen. Numerische Experimente validieren die theoretischen Ergebnisse und demonstrieren die Genauigkeit und Effizienz der Methoden. Diese Arbeit leistet einen Beitrag zur numerischen Strömungsmechanik, indem sie Methoden zur Diskretisierung von Strömungen auf verformbaren Oberflächen weiterentwickelt und analysiert und damit den Weg für zukünftige Forschung in diesem Bereich ebnet.This thesis addresses the numerical treatment of Navier–Stokes equations on evolving surfaces, combining advanced concepts from surface fluid modeling, trace finite element approximations, and level set equation discretization schemes. Motivated by applications in biological membranes and thin film flows, the work focuses on the numerical simulation of surface fluid dynamics. Two principal systems are considered: the tangential surface Navier–Stokes system (TSNS), where the evolving surface is prescribed, and the full surface Navier–Stokes system (SNS), where both the surface evolution and the flow are unknowns. A major challenge in the SNS arises from the nonlinear coupling between the velocity field and the surface geometry evolution. The thesis provides a comprehensive review and comparison of existing derivations of the surface Navier–Stokes equations, highlighting differences in physical principles (such as conservation laws, thin film limits, and energetic variational approaches) and coordinate representations (local curvilinear vs. global Cartesian). It is shown that, while the TSNS systems derived from various approaches are equivalent, the SNS systems may differ depending on the chosen framework. The main goal of this thesis is the development and analysis of novel numerical methods based on the Trace Finite Element Method (TraceFEM) for both TSNS and SNS on evolving surfaces. TraceFEM uses a background mesh in the embedding space, allowing for robust discretization without the need for surface triangulation or remeshing as the surface evolves. The thesis details the construction of these methods, including stabilization and extension techniques. For the TSNS, an error analysis is provided, and the method’s accuracy and stability are demonstrated. The extension to the full SNS system is presented, addressing the additional challenges posed by the nonlinear coupling between surface evolution and fluid flow. Additionally, an efficient narrow band method for the level set equation is introduced to accurately represent surfaces evolved by material flow fields. This method is crucial for the SNS system, where the surface evolution is coupled with the fluid flow. Numerical experiments validate the theoretical findings, demonstrating the accuracy and efficiency of the proposed methods. This work contributes to computational fluid dynamics by advancing methodologies for discretizing fluid flows on deformable surfaces, paving the way for future research in this vital area of applied mathematics.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT031376718
Interne Identnummern
RWTH-2026-00305
Datensatz-ID: 1024750
Beteiligte Länder
Germany
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