Quaternionic modular forms of degree two over Q(-3,-1)

Gehre, Dominic Steffen; Krieg, Aloys

doi:32099

Quaternionic modular forms of degree two over Q(-3,-1) = Quaternionische Modulformen zweiten Grades über Q(-3,-1)

Gehre, Dominic Steffen (Author)

2012 & 2013

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Dominic Steffen Gehre

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

UmfangVI, 434 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Prüfungsjahr: 2012. - Publikationsjahr: 2013

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-11-30

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-44032
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/211801/files/4403.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Modulform (Genormte SW) ; Zahlentheorie (Genormte SW) ; Funktionentheorie (Genormte SW) ; Theta-Reihe (Genormte SW) ; Eisenstein-Reihe (Genormte SW) ; Hecke-Operator (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Quaternionische Modulform (frei) ; Orthogonale Modulform (frei) ; Maaß-Lift (frei) ; Borcherdsprodukt (frei) ; modular form (frei) ; quaternionic modular form (frei) ; number theory (frei) ; complex analysis (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Dissertation beschäftigt sich in erster Linie mit der Untersuchung von Quaternionischen Modulformen zweiten Grades über der Maximalordnung $O=+(1+i_1sqrt{3})/2+ i_2+(i_2+i_1i_2sqrt{3})/2$ im Schiefkörper der Quaternionen $H=R+i_1R+i_2R+i_1i_2R$. Diese sind wie folgt definiert: Sei $Sp_2(O)leqGL_4(O)$ die Quaternionische Modulgruppe über $O$ und $mathcal{H}(H)subsetH^{2imes 2}otimes_{R}C$ der Quaternionische Halbraum zweiten Grades, $GammaleqSp_2(O)$ eine Untergruppe und $u$ ein Multiplikatorsystem zu $Gamma$ vom Gewicht $k$ -- diese Begriffe werden in der Dissertation näher erklärt. Dann nennt man eine holomorphe Funktion $f:mathcal{H}(H)ightarrowC$ eine Quaternionischen Modulformen zweiten Grades zu $Gamma$ und $u$ vom Gewicht $k$ falls [f((AZ+B)(CZ+D)^{-1})=u(M)(det(check{C}check{Z}+check{D}))^{k/2} f(Z)] für alle $M=igl(egin{smallmatrix} A & B \ C & D end{smallmatrix}igr)inGamma$ gilt, wobei "$~^{vee};$"' die Standardeinbettung von $H$ in $C^{2imes2}$ bezeichnet. Von besonderem Interesse ist die Bestimmung des graduierten Ringes aller Quaternionischer Modulformen. Die Arbeit geht nun essentiellen Fragestellungen nach, welche zur Bestimmung dieses graduierten Ringes benötigt werden. In erster Linie werden wichtige Klassen von Quaternionischen Modulformen näher betrachtet und analysiert. Zudem wird eine Herangehensweise zur Lösung des obigen Problems erarbeitet. Das erste Kapitel dient als Einleitung. Quaternionische Modulformen werden definiert und erste fundamentale Erkenntnisse ausgearbeitet. Darunter fallen auch die Bestimmung aller Multiplikatorsysteme der Quaternionischen Modulgruppe und erste Dimensionsabschätzungen. Im zweiten Kapitel werden Quaternionische Thetareihen und im Speziellen Thetakonstanten betrachtet. Bei vergleichbaren Fragestellungen zu Modulformen reichten oft Thetakonstanten zur Bestimmung der graduierten Ringe aus. Hier werden nun Quaternionische Thetakonstanten näher beleuchtet und dabei unter anderem Fragen zu ihrem Transformationsverhalten, ihren Fourierentwicklungen und ihren Einschränkungen auf Halbräume kleinerer Dimensionen beantwortet. Das dritte Kapitel behandelt den Begriff des Quaternionischen Maaß-Lifts. Hauptaugenmerk wird hier auf Quaternionische Maaß-Lifts ungeraden Gewichts zu nicht-trivialen Multiplikatorsystemen gelegt. Die hieraus resultierende Existenz von nicht-trivialen Quaternionischen Modulformen ungeraden Gewichts zur vollen Modulgruppe stellt hierbei einen wesentlichen Unterschied zu Quaternionischen Modulformen über der Hurwitz-Ordnung dar. Zur Analyse der Maaß-Lifts ungeraden Gewichts werden zudem die Theorien von elliptischen Hecke-Operatoren und elliptischen Neuformen ausgiebig dargelegt und neue Resultate für die hier benötigten Zwecke erarbeitet. Im vierten Kapitel werden Quaternionische Eisensteinreihen definiert und studiert. Wichtigstes Ziel hierbei ist die Bestimmung der Fourierentwicklung der Eisensteinreihen. Tatsächlich sind Quaternionische Eisensteinreihen Quaternionische Maaß-Lifts zum trivialen Charakter. Um dies zu zeigen, wird der Begriff der Quaternionischen Hecke-Operatoren benötigt. Es wird ausgearbeitet wie die speziellen Hecke-Operatoren $mathcal{T}_2(p)$ auf Quaternionische Maaß-Lifts zum trivialen Charakter wirken. Unter anderem wird sich zeigen, dass diese Hecke-Operatoren den Raum der Quaternionische Maaß-Lifts zum trivialen Charakter stabilisieren. In Kapitel fünf wird die Verbindung von Quaternionischen Modulformen zu speziellen Orthogonalen Modulformen aufgezeigt. Es werden allgemeine Orthogonale Modulformen eingeführt und spezielle Gitter näher betrachtet, deren zugehörige Räume von Orthogonalen Modulformen für den bereits angesprochenen Reduktionsprozess benötigt werden. Im letzten Kapitel wird dieser Reduktionsprozess vorgestellt, der das Problem der Bestimmung des graduieren Ringes der Quaternionischen Modulformen auf die Analyse von Modulformen auf Halbräumen kleinerer Dimension verlagert. Hierzu wird das wichtige Konstrukt sogenannter Borcherdsprodukten benötigt. Letztendlich wird die ursprüngliche Fragestellung auf die Betrachtung von Paramodulformen zweiten Grades der Stufe 7 zurückgeführt. Zwar kann der zugehörige graduierte Ring der Paramodulformen der Stufe 7 nicht vollständig erarbeitet werden, jedoch werden alle gefundenen Resultate zusammengetragen. Der erarbeitete Reduktionsprozess zeigt zudem auf, wie strukturelle Resultate für die Quaternionischen Modulformen gefunden werden können, sobald Ergebnisse zu den Paramodulformen vorliegen. Die Dissertation endet mit der Ausarbeitung eines maximalen Systems algebraisch unabhängiger Quaternionischer Modulformen, welche auf einen Großteil der erarbeiteten Resultate aufbaut.

This thesis mainly deals with the analysis of quaternionic modular forms of degree two over the maximal order $O=+(1+i_1sqrt{3})/2+ i_2+(i_2+i_1i_2sqrt{3})/2$, where $H=R+i_1R+i_2R+i_1i_2R$ is the skew field of quaternions. These are defined as follows: Let $Sp_2(O)leqGL_4(O)$ be the quaternionic modular group over $O$ and $mathcal{H}(H)subsetH^{2imes 2}otimes_{H}C$ the quaternionic half-space of degree two, $GammaleqSp_2(O)$ a subgroup and $u$ a multiplier system of weight $k$ -- note that all these terms are defined in the thesis in detail. Then a holomorphic function $f:mathcal{H}(H)ightarrowC$ is called a quaternionic modular form of degree two with respect to $Gamma$ and $u$ of weight $k$ if [f((AZ+B)(CZ+D)^{-1})=u(M)(det(check{C}check{Z}+check{D}))^{k/2} f(Z)] holds for all $M=igl(egin{smallmatrix} A & B \ C & D end{smallmatrix}igr)inGamma$, with $~^{vee};$'' denoting the standard embedding of $H$ in $C^{2imes2}$. One of the main issues is to determine the graded ring of all quaternionic modular forms. In order to be able to do so, the thesis pursues several essential issues concerning quaternionic modular forms. Essentially, certain important classes of quaternionic modular forms are analyzed in detail. Moreover, an approach to answer the question concerning the graded ring is worked out, making use of a certain reduction process. The first chapter serves as an introduction. Quaternionic modular forms are defined and some first fundamental results are developed. This includes the determination of all multiplier systems of the quaternionic modular group and first dimensional bounds. In the second chapter quaternionic theta-series are examined in general -- and theta-constants in particular. Regarding similar topics concerning modular forms, theta-constants often sufficed to describe the occuring graded rings of modular forms. Therefore, in the thesis quaternionic theta-constants are analyzed in great detail, answering questions concerning their transformation behavior, Fourier-expansions and restrictions to half-spaces of lower dimension. The third chapter deals with so-called quaternionic Maaß lifts. Mainly, the theory of quaternionic Maaß lifts of odd weight with respect to non-trivial multiplier systems is established. Here one should note that the resulting existence of non-trivial quaternionic modular forms of odd weight with respect to the whole quaternionic modular group is a significant difference to the theory of quaternionic modular forms over the Hurwitz order. To analyze quaternionic Maaß lifts of odd weight the theories off elliptic Hecke-operators and elliptic newforms are presented. Some new results are obtained in order to be able to describe the spaces of elliptic modular forms serving as input for the Maaß lifts. In the fourth chapter quaternionic Eisenstein-series are studied. The main goal here is to determine their Fourier-expansions. Actually, quaternionic Eisenstein-series turn out to be Maaß lifts for the trivial character. To prove this the term of quaternionic Hecke-operators is needed. In the thesis the action of the special Hecke-operators $mathcal{T}_2(p)$ on quaternionic Maaß lifts for the trivial character is analyzed in full detail. Among other results, it is shown that these Hecke-operators preserve the spaces of quaternionic Maaß lifts, which in turn yields answers concerning the Fourier-expansions of the Eisenstein-series. In chapter five the connection between quaternionic modular forms and special orthogonal modular forms is illustrated. Orthogonal modular forms are introduced in general, while special lattices and their attached spaces of orthogonal modular forms are analyzed in detail. This information is needed for the subsequent reduction process. In the final chapter said reduction process is presented, which reduces the problem of determining the graded ring of quaternionic modular forms to analyzing modular forms on half-spaces of lower dimension. For this purpose, the important concept of Borcherds products is required. Ultimately, the original issue is reduced to the examination of paramodular forms of degree two and level 7. Unfortunately, it has not been possible to completely describe the graded ring of these paramodular forms of level 7, but nonetheless all manageable results are collected. Moreover, the worked out reduction process shows how to obtain structural conclusions concerning quaternionic modular forms once the problems regarding the paramodular forms are solved. Finally, the thesis ends by constructing a maximal system of algebraically independent quaternionic modular forms, which builds up on large parts of the developed results.

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