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000480364 5203_ $$aDie vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Existenz optimaler Gebiete für Gebietsfunktionale unter Beachtung von Robin Randwerten. Wir behandeln sowohl den Fall positiver, als auch den Fall negativer Robin Parameter.Im Fall positiver Robin Parameter beweisen wir die Existenz eines minimalen Gebietes in der Klasse der Lipschitz Gebiete mit vorgegebenem Maß, die gleichmäßige Fortsetzungsgebiete sind. Neben dem linearen Eigenwertfall betrachten wir Rayleigh Quotienten, die mit dem Sobolev Einbettungssatz in Verbindung stehen und zeigen die Existenz minimaler Gebiete bis zum kritischen Exponenten. Anschließend zeigen wir, dass die Volumenbedingung durch eine Bedingung an das Oberflächenmaß ersetzt werden kann. Im Fall negativer Robin Parameter schränken wir die Klasse der Gebiete ein. Wir betrachten nur Gebiete, die sternförmig bezüglich einer festen Kugel sind. Somit geben wir die Topologie der Gebiete vor und schließen dadurch kürzlich gefundende Gegenbeispiele zur umgekehrten Faber-Krahn Ungleichung aus. Durch eine gleichmäßige Spurungleichung sind wir in der Lage die Existenz eines maximalen Gebietes für den ersten Robin Eigenwert zu beweisen. Anschließend zeigen wir einen weiteren Existenzsatz in der Klasse schalenförmiger Gebiete. Darüber hinaus beweisen wir Existenzsätze in einer glatteren Situation. Dazu verwenden wir eine Schranke für die mittlere Krümmung der Gebiete, um die Kompaktheit der Klasse von Gebieten bezüglich der stärkeren Topologie zu erhalten. Aufgrund der glatteren Rahmenbedingungen sind wir in der Lage weitere Regularitätseigenschaften optimaler Gebiete zu diskutieren.$$lger
000480364 520__ $$aThe present thesis is concerned with the problem of proving the existence of optimal domains for functionals subjected to Robin Boundary conditions. We treat both cases of positive and negative Robin parameters. In the case of positive Robin parameters we prove the existence of a minimizing domain in a class of Lipschitz domains of given measure, that are uniform extension domains. In addition to the linear case, i.e. the case of the first eigenvalue, we consider Rayleigh quotients corresponding to the Sobolev embedding theorem, up to the critical exponent. Subsequently, we show that the volume constraint can be replaced by a surface area constraint.For negative Robin parameters we restrict the class of domains. We consider domains that are starshaped with respect to a fixed ball, thus fixing the topology of the domains. This exludes recent counter examples to the reverse Faber-Krahn inequality. Using a uniform trace inequality, we prove the existence of a maximizing domain for the first eigenvalue of the Robin Laplacian. Subsequently, we present an additional existence result in a class resembling spherical shells. Moreover, we prove the existence of optimal domains in a smoother setting, using a constraint on the mean curvature to obtain the compactness of the class of domains with respect to the stronger topology. As a consequence of the smoother setting, we are able to discuss further regularity properties of optimal domains.$$leng
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