Markovian simple counting processes and models of ordered Random variables

Lenz, Björn; Kamps, Udo

doi:28599

Markovian simple counting processes and models of ordered Random variables = Einfache Markovsche Zählprozesse und Modelle geordneter Zufallsvariablen

Lenz, Björn (Author)

2008

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Björn Lenz

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

UmfangIV, 89 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Kamps, Udo (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-02-20

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-22607
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50004/files/Lenz_Bjoern.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Stochastischer Prozess (Genormte SW) ; Markov-Prozess (Genormte SW) ; Rekord (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; ordered random variables (frei) ; generalized order statistics (frei) ; sequential order statistics (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 60J27

Kurzfassung
Eine neue Definition von reinen Geburtsprozessen, welche die übliche Definition enthält, basierend auf Eigenschaften des darunterliegenden Punktprozesses, wird vorgeschlagen. In der neuen Definition (im Gegensatz zur alten Definition) ist es erlaubt, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten des Zählprozesses nicht absolut stetig sind, und für den vorgestellten reinen Geburts-Bernoulli-Prozess dürfen diese sogar unstetig sein (was fixierten Sprüngen des Zählprozesses entspricht). Die Idee der (neuen) Konstruktion ist eine Charakterisierung des inhomogenen Poissonprozesses mit stetiger Mittelwertfunktion als zeittransformierter homogener Poissonprozess, wobei in der (neuen) Definition reiner Geburtsprozesse diese Mittelwertfunktion nun vom aktuellen Zustand des Prozesses abhängen darf. Diese neue Definition (zusammen mit dieser neuen Sichweise) erlaubt elegante und einfache Beweise bekannter Resultate, welche häufig zu weniger strengen Voraussetzungen verallgemeinert werden können, und führt zu tieferen Einsichten als das bisherige Nachrechnen in den Beweisen. Insbesondere interessieren wir uns für die Markovstruktur von reinen Geburtsprozessen und Modellen geordneter Zufallsvariablen. Wir zeigen, dass die Sprungzeiten von reinen Geburtsprozessen (in Verteilung) übereinstimmen mit Pfeiferschen Rekorden (Rekorde, bei denen die Verteilung der unterliegenden Zufallsvariablen sich nach jedem Rekord ändern kann) und sequentiellen Ordungsstatistiken (ein Modell zur Analyse der Zuverlässigkeit gewisser k-aus-n-Systeme, bei dem die Verteilung der Ausfälle von der Anzahl der bisherigen Ausfälle abhängen darf), jeweils für stetige Verteilungsfunktionen der unterliegenden Zufallsvariablen. Reine Geburtsprozesse mit operationaler Zeit stimmen (in Verteilung) überein mit verallgemeinerten Ordnungsstatistiken (ebenfalls ein Modell für die Zuverlässigkeit gewisser k-aus-n-Systeme mit mehr Beschränkungen bezüglich der Abhängigkeit von der Anzahl der bisherigen Ausfälle) für stetige Verteilungsfunktionen der unterliegenden Zufallsvariablen. Dieses Modell enthält auch noch andere Modelle geordneter Zufallsvariablen wie Rekorde, Ordnungsstatistiken, und progressiv Typ II zensierte Ordnungsstatistiken. Desweiteren und mit ähnlichen Methoden wie im stetigen Fall führen wir den reinen Geburts-Bernoulli-Prozess als reinen Geburtsprozess mit fixierten Sprüngen ein. Die Übereinstimmung in Verteilung bleibt bestehen für reine Geburts-Bernoulli-Prozesse und Pfeifersche Rekorde (wobei die Verteilungsfunktionen der unterliegenden Variablen unstetig sein dürfen), und für reine Geburts-Bernoulli-Prozesse und sequentielle Ordnungsstatistiken mit schwach wachsendem Träger der unterliegenden Verteilungsfunktionen (wobei die Verteilungsfunktionen der unterliegenden Variablen unstetig sein dürfen). Außerdem stimmen die Sprungzeiten des Poisson-Bernoulli-Prozesses mit Rekorden aus Zufallsvariablen mit möglicherweise nicht stetiger Verteilungsfunktion (in Verteilung) überein. Abschließend untersuchen wir ausgezeichnete Unterklassen: Gemischte Poissonprozesse als Unterklasse der reinen Geburtsprozesse, wobei die zugehörige Unterklasse in den Modellen geordneter Zufallsvariable für eine Gamma-verteilte Mischungsvariable m-verallgemeinerte Ordnungsstatistiken sind mit m<-1, und m=1 entspricht gerade einer degenerierten Mischungsvariable. Interessante Unterklassen in verallgemeinerten Ordnungsstatistiken sind die, bei denen die Folge der Parameter monoton wächst oder fällt, wobei die erste Variante zu Überdispersion und positiver Contagion des zugehörigen reinen Geburtsprozesses führt, die zweite zu Unterdispersion und negativer Contagion.

A new definition of pure birth processes, including the usual definition, but based on qualities of the underlying increasing point process, is proposed. In the new definition (in contrast to the usual definition) the transition probabilities of the counting process are allowed to fail to be absolutely continuous, for the proposed pure birth-Bernoulli process they are even allowed to be discontinuous (corresponding to fixed jumps in the counting process). The idea underlying the (new) construction of pure birth processes is a characterization of inhomogeneous Poisson processes with continuous mean value function as a time-transformed standard Poisson process, where in the (new) definition of pure birth processes that time-transformation is allowed to depend on the state of the process. This new definition (together with its new point of view) allows elegant and simple proofs of known results, which often can be generalized to less rigid assumptions, and lead to deeper insights than the prominent calculations. Especially we are interested in the Markovian structure of pure birth processes and models of ordered random variables. We prove that the jump times of pure birth processes coincide (in distribution) with Pfeifers record values (record values where the distribution of the underlying random variables may change after each record) and sequential order statistics (a model to analyse the reliability of certain k-out-of-n systems where the distribution of failures may depend on the number of failed elements), each for continuous distribution functions for the underlying random variables. Pure birth processes with operational time coincide (in distribution) with generalized order statistics (also a model for the reliability of certain k-out-of-n systems with more restrictions on the dependency of the number of failed elements) for continuous distribution functions for the underlying random variables. This model also includes other models of random variables (by a certain choice of parameters) like record values, order statistics, and progressively Type II censored order statistics. Furthermore and with similar methods as in the continuous case the pure birth-Bernoulli process is introduced as a pure birth process with fixed jumps. The coincidence in distribution remains valid for pure birth-Bernoulli processes and Pfeifer records (with possibly discontinuous distribution functions for the underlying random variables), and for pure birth-Bernoulli processes and sequential order statistics with weakly increasing support (and possibly discontinuous distribution functions for the underlying random variables). Also, the jump times of a Poisson-Bernoulli process (as special case of the pure birth-Bernoulli process) coincide (in distribution) with record values from random variables with possibly discontinuous distribution function. Finally we analyse and compare distinguished subclasses: Mixed Poisson processes as a subclass of pure birth processes, where the corresponding counterpart in models of ordered random variables for a Gamma-mixing variable are m-generalized order statistics with m<-1, where m=-1 corresponds to a degenerate mixing variable. Interesting subclasses for generalized order statistics are those with an increasing chain of parameters and decreasing chain of parameters, where the first possibility leads to an over-dispersed pure birth process with positive contagion, the second to an under-dispersed pure birth process with negative contagion.

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