Multivariate ageing and dependence properties of generalized order statistics and related stochastic models

Seehafer, Ute; Cramer, Erhard

doi:28720

Multivariate ageing and dependence properties of generalized order statistics and related stochastic models = Multivariate Alterungs- und Abhängigkeitseigenschaften von verallgemeinerten Ordnungsstatistiken und verwandten stochastischen Modellen

Seehafer, Ute (Author)

2008

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Ute Seehafer

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

UmfangIV, 124 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Cramer, Erhard (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-07-17

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-25349
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50292/files/Seehafer_Ute.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Alterung (Genormte SW) ; stochastische Abhängigkeit (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Ordnungsstatistiken (frei) ; Mischungsmodelle (frei) ; Zensierung (frei) ; ageing (frei) ; dependence (frei) ; order statistics (frei) ; mixture models (frei) ; censoring (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 60E99 * 60E15

Kurzfassung
Positive Alterung beschreibt den nachteiligen Effekt des Älterwerdens auf zufällige (Rest)Lebens- oder Ausfallzeiten von Individuen oder Einheiten. Eine positive Alterungsklasse beinhaltet Lebensdauerverteilungen mit charakteristischem Alterungsverhalten. Alterungseigenschaften werden oft mit Hilfe der Restlebensdauer von Einheiten unterschiedlichen Alters dargestellt. Die am besten studierte univariate Alterungsklasse ist die IFR (increasing failure rate) Klasse. Eine Lebenszeitverteilung gehört zu dieser Klasse, wenn die Restlebenszeit mit wachsendem Alter bezüglich der stochastischen Ordnung fällt. Positive Abhängigkeit beschreibt die Tendenz von Komponenten eines Zufallsvektors gleichartige Werte anzunehmen. Positive Abhängigkeitskonzepte wie Assoziation oder die MTP2 Eigenschaft formalisieren diese Tendenz. In dieser Arbeit werden vier stochastische Modelle für Lebensdauerverteilungen hinsichtlich ihrer positiven Alterungs- und Abhängigkeitseigenschaften analysiert: verallgemeinerte Ordnungsstatistiken, Mischungsmodelle, Ordnungsstatistiken und Rekordwerte aus austauschbaren Folgen von Zufallsgrößen und progressiv Typ II zensierte Ordnungsstatistiken aus INID (unabhängigen und nicht notwendigerweise identisch verteilten) Zufallsgrößen. Es werden verschiedene positive Alterungs- und Abhängigkeitseigenschaften vorgestellt. Insbesondere werden multivariate IFR, IFRA und NBU Klassen definiert. Es werden hinreichende Bedingungen dafür angegeben, dass Vektoren von verallgemeinerten Ordnungsstatistiken zu diesen multivariaten Klassen gehören. Desweiteren wird untersucht, ob verallgemeinerte Ordnungsstatistiken zur (univariaten) NBU(2) bzw. NBUC Klasse gehören. Es werden Resultate bezüglich der Erhaltung von Alterungs- und Abhängigkeitseigenschaften unter Mischungen präsentiert. Aus diesen Resultaten folgt dann beispielsweise, dass Zufallsvektoren, die gemäß einer Erweiterung des Proportional-Hazard-Regression-Model verteilt sind, die MTP2 Eigenschaft besitzen. Darüberhinaus wird die Abhängigkeitsstruktur von progressiv Typ II zensierten Ordnungsstatistiken aus INID Zufallsgrößen analysiert. Ein Hauptresultat ist, dass Vektoren von progressiv Typ II zensierten Ordnungsstatistiken aus INID Zufallsgrößen assoziiert sind.

Positive ageing denotes the adverse effect of age on random life times (survival or failure times) of individuals or units. A positive ageing class contains life time distributions that show a characteristic behavior of positive ageing. Ageing properties are often expressed in terms of the residual life time of units of different ages. The best studied (univariate) ageing class is the IFR (increasing failure rate) class. A life time distribution belongs to this class if the residual life time of a unit of less age dominates the residual life time of a unit of greater age with respect to the stochastic order. Positive dependence describes the tendency of components of a random vector to assume concordant values. Positive dependence notions, like association or the MTP2 notion, measure this tendency. In this thesis, four stochastic models for life time distributions are analyzed with respect to their positive ageing and dependence properties: generalized order statistics, mixture models, order statistics and record values from exchangeable sequences and progressively Type II censored order statistics from INID (independent and not necessarily identically distributed) random variables. Several positive ageing and dependence classes are defined, in particular multivariate IFR, IFRA and NBU classes. There are conditions derived which ensure that vectors of generalized order statistics belong to these multivariate classes. Furthermore, it is examined whether generalized order statistics belong to the (univariate) NBU(2) and NBUC classes. This work contains results concerning the preservation of ageing and dependence properties under mixtures. From these results, it follows that a random vector which is distributed according to an extension of the proportional hazards regression model has the MTP2 property. In addition, the dependence structure of progressively Type II censored order statistics from INID random variables is analyzed. A main result is that vectors of progressively Type II censored order statistics from INID random variables are associated.

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