Iterative solvers in implicit time integration for compressible flows

Pollul, Bernhard; Reusken, Arnold

doi:910003275

Iterative solvers in implicit time integration for compressible flows = Iterative Lösungsmethoden für die implizite Zeitintegration in kompressiblen Strömungssimulationen

Pollul, Bernhard (Author)

2008

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Bernhard Pollul

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

Umfang194 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Reusken, Arnold (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-11-05

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-25974
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50412/files/Pollul_Bernhard.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Numerische Strömungssimulation (Genormte SW) ; Kompressible Strömung (Genormte SW) ; Nummerierung (Genormte SW) ; Präkonditionierung (Genormte SW) ; Krylov-Verfahren (Genormte SW) ; Newton-Verfahren (Genormte SW) ; Quasi-Newton-Verfahren (Genormte SW) ; Automatische Differentiation (Genormte SW) ; Nichtlineare Gleichung (Genormte SW) ; Lineare Gleichung (Genormte SW) ; Finite-Volumen-Methode (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Schrittweitensteuerung (frei) ; matrixfreie Methoden (frei) ; QUADFLOW (frei) ; computational fluid dynamics (frei) ; Newton-Krylov (frei) ; pseudo-transient continuation (frei) ; reordering techniques (frei) ; CFL evolution strategies (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 76N99 * 68N19 * 65Y99 * 65N22 * 65F10

Kurzfassung
Die numerische Strömungsmechanik ist ein aktuelles Forschungsgebiet. Im SFB 401 „Strömungsbeeinflussung und Strömungs-Struktur-Wechselwirkung an Tragflügeln” an der RWTH Aachen wird daher der Strömungslöser QUADFLOW entwickelt. Hierin werden diverse iterative Verfahren zur Berechnung einer numerischen Lösung eines Strömungsproblems um einen Tragflügel verwendet. Im adaptiven Finite-Volumen Löser QUADFLOW können sowohl die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen, als auch die kompressiblen Euler Gleichungen simuliert werden. In dieser Dissertation wird der Strömungslöser QUADFLOW vorgestellt und eine kurze Einführung in iterative Verfahren gegeben. Den Hauptgegenstand stellen die Behandlung von bekannten und neuen Methoden zu Vorkonditionierung, Numerierung, Zeitschrittweitensteuerung sowie zu matrixfreien Verfahren dar. Es wird eine implizite Zeitintegrationsmethode verwendet, bei der man im Falle einer stationären Simulation die entsprechende Lösung durch einen Konvergenzprozess einer instationären Rechnung erhält. Hierzu muss in jedem Zeitschritt ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden, das hier mit einem inexakten Newton-Verfahren mit einer Jacobimatrix erster Ordnung angenähert wird. Die dabei auftretenden linearen Gleichungssysteme werden approximativ mit einem vorkonditionierten Krylov-Verfahren gelöst. Der Großteil der Rechenzeit für eine solche Simulation wird typischerweise beim Lösen der linearen Gleichungssysteme verbraucht. Da bei stationären Berechnungen größere Zeitschritte verwendet werden können, was eine Erhöhung der Nichtlinearität zur Folge hat, sind die entsprechenden Gleichungssyteme in diesem Fall i.A. schwieriger zu lösen als bei zeitgenauen Rechnungen. Daher werden hier primär die stationären kompressiblen Euler Gleichungen untersucht. In dieser Dissertation werden verschiedene sogenannte Punkt-Block-Vorkonditionierungstechniken untersucht und verglichen. Die Vorkonditionierung spielt eine entscheidende Rolle für das Konvergenzverhalten des linearen Lösers. Dabei beeinflusst die gewählte Numerierung der Jacobimatrix die Effizienz des Vorkonditionierers. Hierzu wird eine neue Numerierung vorgestellt, die auf einem reduzierten Matrix-Graphen basiert. Die neue Numerierung kann die Robustheit des Lösers entscheidend verbessern und die Rechenzeit signifikant senken. Für die Simulation stellt ferner die Zeitschrittweite eine wichtige Rolle dar. Hierzu werden zwei bekannte Strategien mit einer neuen Strategie verglichen. Die in den einzelnen Strategien verwendeten Parameter werden in einer Parameterstudie untersucht. Es wird ferner eine weitere neue Strategie vorgestellt, bei der das Residuum in jedem Zeitschritt so weit wie möglich reduziert wird. Diese Strategie kann zwar in wenigen Zeitschritten das Residuum der Zeitintegration deutlich senken, ist aber in einigen Beispielen letztendlich den anderen Strategien unterlegen. Eine weitere Beschleunigung der Konvergenz der Zeitintegration kann durch die Verwendung einer Jacobimatrix zweiter Ordnung erreicht werden. Da die Aufstellung dieser Jacobimatrix aufwendig und speicherintensiv ist, wird eine matrixfreie Implementierung benutzt. Hierfür wird die zuverlässige und der Methode der Dividierten Differenzen überlegene Technik des automatischen Differenzierens verwendet. Durch die Methode zweiter Ordnung kann in einigen Fällen eine deutliche Beschleunigung der Simulation erreicht werden.

Computational fluid dynamics (CFD) that was started in the 1960's is still an up-to-date research topic. In the Collaborative Research Center SFB~401 "Modulation of flow and fluid-structure interaction at airplane wings" being concerned with fundamental problems of high capacity aircrafts in transonic conditions, one key issue is the development of a new adaptive finite volume flow solver called QUADFLOW. Therein, certain iterative methods that arise in most CFD simulations are used for the simulation of compressible flow around an airfoil. QUADFLOW is designed for the stationary and non-stationary compressible Euler and Navier-Stokes equations. In this thesis we discuss the QUADFLOW solver and give an introduction to iterative methods. In the main part we discuss known and new preconditioners, numbering techniques, time step evolution strategies, and matrix-free methods. In this thesis an implicit time integration scheme is used. In case of a stationary problem this approach is called "pseudo-transient continuation", that is, one applies a time integration method to the unsteady Euler equations and the corresponding non-stationary solution converges to the stationary solution for time tending to infinity. This then yields a non-linear system of equations in each time step which is solved by a Newton-Krylov method. Therein one applies a linearization technique combined with a preconditioned Krylov subspace algorithm for solving the resulting linear problems. Our inexact Newton method uses a first order approximation of the Jacobian. The computational work for solving the large sparse systems in the applied Newton-Krylov method determines to a large extent the total computing time. In general for stationary problems this issue plays a bigger role than for non-stationary problems resulting from the choice of larger time step sizes during the computation. Therefore, we focus on the stationary Euler equations in this thesis. In this thesis different so-called "point-block" preconditioners are investigated and compared. Preconditioning is crucial for the convergence of the Krylov solver. Preconditioners strongly depend on the ordering of the cells of the Jacobian. We present a new odering that is based on a reduced matrix graph. Our new ordering can significantly improve robustness and corresponding computational time. The selection of the time step size in the implicit time integration is crucial for the numerical simulation. We compare two known time step evolution methods with a new strategy. The parameters that correspond to each of the strategies are investigated in a systematic parameter study. Furthermore we present a new strategy that selects the CFL number in such a way that the residual decreases as much as possible in every time step. We show that this strategy gives good results for a limited number of time steps but is usually slow compared with any of the standard CFL evolution strategies in the long run. A further acceleration of the time integration can be achieved by the use of a second order accurate Jacobian. Because the stencils for second order methods are usually quite large resulting in a complex Jacobian requiring much memory, we present a second order matrix-free method. For the implementation we use automatic differentiation providing a robust and reliable scheme that has better convergence properties compared with a corresponding divided differencing method. Using the second order matrix-free evaluation of the matrix-vector product the corresponding computational time can be significantly decreased.

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