Multidimensional systems of hyperbolic conservation laws, numerical schemes, and characteristic theory : connections, differences, and numerical comparison

Kröger, Tim; Noelle, Sebastian

doi:HT014105403

Multidimensional systems of hyperbolic conservation laws, numerical schemes, and characteristic theory : connections, differences, and numerical comparison

Kröger, Tim

2004

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Tim Kröger

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2004

UmfangIX, 201 S. : Ill., graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2004

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Noelle, Sebastian (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2004-07-16

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-8657
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/62018/files/Kroeger_Tim.pdf

Einrichtungen

Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften (100000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Erhaltungssatz (Genormte SW) ; Hyperbolisches Differentialgleichungssystem (Genormte SW) ; Charakteristikenverfahren (Genormte SW) ; Numerisches Verfahren (Genormte SW) ; Mathematik (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Viele physikalischen Probleme, zum Beispiel das Verhalten eines kompressiblen Fluids, können als Systeme hyperbolischer Erhaltungssätze, d/dt U + div.F(U) = 0, modelliert werden, sofern gewisse Effekte (wie zum Beispiel Reibung) vernachlässigt werden. Eines der ersten numerischen Verfahren für Systeme von Erhaltungssätzen wurde 1959 von Gudunov eingeführt. Dies Verfahren basiert darauf, an jeder Zellgrenze ein Riemann-Problem exakt zu lösen und anschlie"send die Lösung nach einem endlichen Zeitschritt zurück in den Raum der stückweise konstanten Funktionen zu projezieren. Ein entscheidender Nachteil von Godunovs Verfahren besteht in der Notwendigkeit, alle Riemann-Probleme exakt zu lösen. Dies ist meistens nur iterativ möglich. Diese Schwierigkeit wurde überwunden, indem sogenannte approximative Riemann-Löser eingestzt wurden, also Verfahren zur Bestimmung geeigneter Näherungen der Lösung des Riemann-Problems. Die Idee des Godunov-Verfahrens ist zunächst nur in einer Raumdimension anwendbar. Hingegen treten die relevanten Problem häufig in zwei oder drei Raumdimensionen auf, weswegen einige Standard-Techniken zur Erweiterung des Verfahrens auf mehrere Raumdimensionen entwickelt wurden. Eine detaillierte Beschreibung von Riemannlösern und Riemannlöser-basierten Verfahren findet man beispielsweise in den Büchern von LeVeque, Kröner, Godlewski und Raviart, sowie Toro. Während die numerische Behandlung von Systemen von Erhaltungssätzen (wie auch von anderen Differentialgleichungen) mehr und mehr entwickelt und verfeinert wurde und Computer immer leistungsstärker geworden sind, scheint jedoch andererseits das klassische analytische Werkzeug der charakteristischen Theorie (siehe zum Beispiel Courant und Hilbert) mehr und mehr in Vergessenheit geraten zu sein. Seit ungefähr 15 Jahren gibt es eine Diskussion (siehe zum Beipiel Roe et al) darüber, ob Riemannlöser die mehrdimensionalen Effekte, die in mehrdimensionalen Systemen auftreten, korrekt erfassen können. Es gab eine Reihe von Ansätzen, die daher gezielt auf Riemannlöser verzichteten. Einige basierten stattdessen auf der charakteristischen Theorie. Diese Dissertation enthält sowohl eine Rekapitulation gewisser Aspekte der mehrdimensionalen charakteristischen Theorie (womit hoffentlich ein Stück weit verhindert wird, dass diese schöne Theorie vergessen wird) als auch einige neue analytische Zusammenhänge und Unterschiede zwischen drei Riemannlöser-freien Ans"tzen. Insbesondere enthält die Arbeit eine neue und elementare Herleitung von Feys "Method of Transport" in der überarbeiteten Version von Noelle (genannt MoT-ICE im Gegensatz zu Feys Version, welche wir MoT-CCE nennen). Diese Herleitung passt einerseits in natürlicher Weise in den Rahmen der sogenannten Zustands- und Flusszerlegungen (in die auch die Standard-Finite-Volumen-Verfahren integriert werden können) und basiert andererseits auf der gaskinetischen Theorie. Hierdurch wird eine enge Beziehung zwischen der MoT-ICE und den kinetischen Verfahren aufgezeigt. Einige Implementierungsdetails bezüglich der MoT-ICE sowie ein extensiver numerischer Vergleich der MoT-ICE mit einem Riemannlöser-basierten Standard-Verfahren vervollständigen die Arbeit. Dieser Vergleich bestätigt in gewisser Weise die enge Beziehung zwischen der MoT-ICE und den kinetischen Verfahren, zeigt aber gleichzeitig auch, dass die MoT-ICE in ihrem gegenwärtigen Entwicklungsstand nicht den Anspruch erfüllt, eine ernsthafte Alternative zu Riemannlöser-basierten Verfahren zu sein.

Many physical problems, for example the behaviour of a compressible fluid, can be modelled as systems of hyperbolic conservation laws, d/dt U + div.F(U) = 0, if certain effects (for instance viscosity) are neglected. One of the first computational schemes for systems of conservation laws was introduced by Godunov in 1959. This scheme is based on exactly solving a Riemann problem at each cell interface and then projecting the solution back onto the space of piecewise constant functions after some finite time step. A major drawback of Godunov's scheme is the necessity to solve all the Riemann problems exactly, which usually consists of an iterative process. To overcome this handicap, there were in the past many ideas for so-called approximate Riemann solvers, i.e. procedures to obtain a suitable approximation to the solution of a Riemann problem. In principle, the idea of Godunov's scheme is at first only applicable to problems in one space dimension. However, problems naturally often arise in two or three space dimensions, and some standard techniques to extend the scheme to more space dimensions have been developped. A detailed description of Riemann solvers and Riemann solver based schemes can for example be found in the textbooks of LeVeque, Kröner, Godlewski and Raviart, and Toro. On the other hand, while the numerical treatment of systems of conservation laws (as well as of other differential equations) has been developped and refined more and more and computers have become increasingly powerful, the classical analytical tool of characteristic theory (see for example Courant and Hilbert) seems to have been sunk little by little into oblivion. Since about 15 years, there is an ongoing discussion (see for example Roe et al) whether one-dimensional Riemann solvers do justice to the multi-dimensional effects arising in systems of conservation laws in multi-dimensions. There were a number of approaches which therefore purposely dispensed with Riemann solvers, and some of which were based on the classical characteristic theory. This thesis includes both a recapitulation of some aspects of the multi-dimensional characteristic theory (and therefore hopefully makes for preventing this beautiful theory from being forgotten) and some new analytical connections and differences between three Riemann solver free approaches. In particular, the thesis includes a new and elementary derivation of Noelle's version of Fey's "Method of Transport" (called MoT-ICE in contrast to Fey's version, which we call MoT-CCE), which on the one hand naturally fits into the framework of so-called state decompositions and flux decompositions (in which also the standard finite volume approach can integrated) and on the other hand is based on the gas-kinetic theory. This etablishes a close connection between the MoT-ICE and the kinetic schemes. Some implementory details for the MoT-ICE and an extensive numerical comparison of the MoT-ICE to a standard, Riemann solver based scheme complete the thesis. This comparison in a way confirms the close connection between the MoT-ICE and the kinetic schemes, but at the same time shows that the MoT-ICE in its current state does not meet the claim of being a reasonable alternative to Riemann solver based schemes.

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