Towards a fictitious domain method with optimally smooth solutions

Mommer, Mario Salvador; Dahmen, Wolfgang

doi:1142

Towards a fictitious domain method with optimally smooth solutions

Mommer, Mario Salvador (Author)

2005

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Mario Salvador Mommer

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2005

Umfang85 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2005

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2005-06-20

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-11426
DOI: 10.18154/RWTH-CONV-123709
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/62116/files/62116.pdf

Einrichtungen

Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften (100000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Partielle Differentialgleichung (Genormte SW) ; Randwertproblem (Genormte SW) ; Approximation (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; fictitious domain (frei) ; domain embedding (frei) ; elliptic boundary value problems (frei) ; wavelets (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Thema dieser Dissertation ist die Glätte der Lösungen die von Fictitious-Domain-Methoden für elliptische Randwertprobleme produziert werden. Als Abschluss dieser Untersuchung wird eine Methode konstruiert, die keine künstlichen Singularitäten einführt, und somit bessere Approximationen mit weniger Freiheitsgrade erlaubt. Nachdem die Notation und der theoretische Hintergrund eingeführt wurde, wird die vielbenutzte Fictitious-Domain/Lagrange-Multiplier Methode untersucht. Es wird gezeigt, dass die Singularität die von dem Lagrange-Multiplikator eingeführt wird, die Konvergenzrate der Approximationen, und somit die Leistungfähigkeit der Methode erheblich beeinträchtigt. Es wird nicht nur der nichtadaptive Fall behandelt, sondern auch die Konvergenzrate von adaptiven Methoden. In beiden Fällen werden obere Schranken für die Konvergenzordnung bewiesen, die unabhängig von der Ordnung der Approximationsmethode sind. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird dann die Konstruktion einer Methode in Angriff genommen, die keine künstlichen Singularitäten einführt. Hierfür wird eine spezielle Least-Squares Formulierung analysiert und diskretisiert. Es werden mehrere Resultate zur Glätteerhaltung bewiesen. Abschließend werden Implementierungstechniken diskutiert, und ein Prototyp wird erfolgreich getestet.

The main focus of this thesis is the smoothness of the solutions provided by fictitious domain methods for elliptic boundary value problems, and the construction of a new fictitious domain method which does not introduce artificial singularities, yielding better performance. After settling the notation and the theoretical background, the fairly popular fictitious domain / Lagrange multiplier (FDLM) method is analyzed. It is shown that the singularity introduced by the Lagrange multiplier significantly degrades the performance of the method even when the solution to the original problem is smooth. This is not only documented for the non-adaptive case, but also, using wavelet techniques, for the adaptive case, deriving upper bounds for the convergence rates that are independent of the order of the approximation method. In the second part of the thesis we consider the construction of a new fictitious domain method that does not introduce any singularities. For this, a special least squares formulation is introduced and discretized. Several results on the smoothness preserving property are proven. Finally, implementation techniques are discussed and a prototype is successfully tested.

OpenAccess:
PDF
(additional files)