Hilbert modular forms for the fields Q( 5), Q( 13) and Q( 17)

Mayer, Sebastian; Krieg, Aloys

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-19854

Hilbert modular forms for the fields Q( 5), Q( 13) and Q( 17) = Hilbertsche Modulformen zu den Körpern Q(Wurzel 5), Q(Wurzel 13) und Q(Wurzel 17)

Mayer, Sebastian (Author)

2007

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Sebastian Mayer

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2007

Umfang175 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2007

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2007-05-04

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-19854
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/62415/files/Mayer_Sebastian.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Hilbertsche Modulform (Genormte SW) ; Modulform (Genormte SW) ; Hilbertsche Modulfläche (Genormte SW) ; Zahlentheorie (Genormte SW) ; Borcherds-Produkt (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Hilbert modular surface (frei) ; Hilbert modular form (frei) ; modular form (frei) ; Borcherds product (frei) ; number theory (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Vor über 100 Jahren gab David Hilbert seine Entwürfe eines neuen Typs von Funktionen mehrerer komplexer Variablen an seinen Schüler Ludwig Otto Blumenthal, der auf dieser Grundlage seine Habilschrift „Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen” errichtete. Hilbert hatte sich sowohl mit der Theorie der elliptischen Modulfunktionen, als auch mit der Theorie algebraischer Zahlkörper beschäftigt und war auf die Idee gekommen, diese Gebiete zu verknüpfen. Elliptische Modulfunktionen sind meromorphe Abbildungen der oberen Halbebene H in die Riemannsphäre, die unter den Möbiustransformationen in SL(2,Z) invariant sind und sich geeignet nach Unendlich fortsetzen lassen. Hilbert ersetzte Z durch den Ganzheitsring eines total reellen Zahlkörpers und erhielt meromorphe Modulfunktionen auf H^n, die ähnlich den Modulfunktionen einen durch eine endliche Zahl von Funktionen erzeugten Funktionenkörper bilden. Neben den Modulfunktionen betrachtete Hilbert auch Modulformen, bei denen die Invarianzbedingung durch eine bestimmte Funktionalgleichung ersetzt und Holomorphie gefordert wird. Durch Quotientenbildung erhält man aus Modulformen wieder Modulfunktionen. In dem späteren Aachener Professor Blumenthal fand Hilbert den Richtigen für die Aufgabe, seine Ideen auszuarbeiten und zu vervollständigen. Eine auf den Krieg ausgerichtete Forschung und die beiden Weltkriege verhinderten vorerst weitere Ergebnisse, außerdem erschwerten noch fehlenden Grundlagen vor allem in der algebraischen Geometrie und der Theorie der komplexen Funktionen weitere Fortschritte. Inzwischen sind jedoch einige Eigenschaften Hilbert'scher Modulfunktionen bekannt und viele verschiedene Sichtweisen auf diese Funktionen haben sich etabliert. Die konkrete Berechnung der zugehörigen Ringe aller Hilbert'scher Modulformen eines algebraischen Zahlkörpers ist zuvor jedoch nur für Q(sqrt 5) gelungen, zu einigen anderen algebraischen Zahlkörpern wurden Unterringe gefunden. Wir erweitern die Zahl der bislang berechneten Ringe mit Hilfe von Eisensteinreihen und mit der Hilfe von Borcherds-Produkten, wie sie in Bruinier, Bundschuh, „On Borcherds products associated with lattices of prime discriminant”, Ramanujan J., 7, 49-61 (2003) für den Fall Hilbert'scher Modulformen formuliert wurden, und berechnen die Modulformen-Ringe für Q(sqrt 13) und Q(sqrt 17) zur Hilbert'schen Modulgruppe mit trivialem Charakter. Als Test des Verfahrens und um die bekannten Erzeuger durch Borcherds-Produkte auszudrücken, betrachten wir auch den bekannten Fall Q(sqrt 5). Borcherds-Produkte sind Lifts geeigneter elliptischer Modulformen und können durch lokal absolut konvergente Produkte elementarer Faktoren dargestellt werden. Ihre Nullstellengebilde lassen sich inklusive ihrer Vielfachheiten konkret berechnen. Außerdem lässt sich das Verhalten Hilbert'scher Modulformen unter verschiedenen Transformationen so vorhersagen, dass man in vielen Fällen auf Zwangsnullstellen schließen kann. Weiter existiert eine Abstiegsfunktion auf den Raum der elliptischen Modulformen die durch die Einbettung von H als Diagonale in H^n entsteht. In den von uns betrachteten Fällen Q(sqrt 5), Q(sqrt 13) und Q(sqrt 17) gelingt es, genügend Erzeuger des Ringes Hilbert'scher Modulformen zu finden. Der Beweis, dass es sich um genügend Erzeuger handelt, verläuft dabei jeweils in etwa nach dem folgenden Schema: Die Abstiegsfunktion bildet eine Hilbert'sche Modulform f positiven Gewichts auf eine elliptische Modulform ab. Wir bilden aus den Erzeugern eine Hilbert'sche Modulform mit gleichem Bild und gleichem Gewicht und subtrahieren sie von f. Die entstehende Modulform verschwindet dann auf der Diagonale in H^n, ist demnach ein Vielfaches eines der Borcherdsprodukte, von dem man zeigen kann, dass es von erster Ordnung auf der Diagonale und ihren Bildern bezüglich der Hilbert'schen Modulgruppe verschwindet und sonst nullstellenfrei ist. Der Quotient der entstandenen Modulform und des Borcherds-Produktes hat niedrigeres Gewicht als f und die Behauptung folgt mit vollständiger Induktion, da alle Modulformen vom Gewicht 0 konstant sind und es keine Modulformen negativen Gewichts gibt. Die Arbeit ist in mehrere Teile gegliedert. Wir beginnen mit dem Vergleich der verschiedenen Definitionen Hilbert'scher Modulformen. Dann stellen wir einige spezielle Hilbert'sche Modulformen vor, wie Eisenstein-Reihen und Poincare-Reihen, und untersuchen verschiedene für unsere Zwecke wichtige elliptische Modulformen. Im Anschluß daran führen wir Borcherds-Produkte in unserem Kontext ein und behandeln allgemeine Eigenschaften Hilbert'scher Modulformen. Schließlich liefert das Reduktionsverfahren die gewünschten Resultate, die Erzeuger der Ringe Hilbert'scher Modulformen. Es folgt ein Ausblick zu verwandten Fragestellungen.

More than a 100 years ago David Hilbert gave his drafts of a new type of functions of several complex variables to his student Ludwig Otto Blumenthal, who made them the foundation of his Habilschrift "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen". Hilbert had investigated both the theory of elliptic modular functions and the theory of algebraic number fields and came up with the idea to link these areas. Elliptic modular functions are meromorphic maps from the upper half plane H into the Riemannsphere, which are invariant under the Moebiustransformations in SL(2, Z) and can be suitably extended to infinity. Hilbert replaced Z by the ring of integers of a totally real number field and obtained meromorphic modular functions on H^n, which form, similarly to modular functions, a finitely generated function field. Next to modular functions Hilbert considered also modular forms, which are holomorphic functions no longer invariant under SL(2,Z) but satisfying a certain functional equation. By taking the quotient of suitable modular forms one receives modular functions again. Hilbert had found in Blumenthal, a later professor in Aachen, the right one to work out his ideas. It took some time before further results were obtained, since on the one hand algebraic geometry and the theory of complex functions had to evolve further and on the other hand politics was directing almost all scientific efforts towards military purposes and both world wars aggravated the situation. Since that time however some progress has been made. The concrete computation of the associated rings of all Hilbert' modular forms of an algebraic number field succeeded for Q(sqrt 5), for other number fields subrings have been calculated. We extend the number of the known rings using Eisenstein series and Borcherds products, as they were formulated in Bruinier, Bundschuh, "On Borcherds products associated with lattices of prime discriminant", Ramanujan J., 7, 49-61 (2003) for the case of Hilbert modular forms. We compute the rings of modular forms for Q(sqrt 13) and Q(sqrt 17) for Hilbert's modular group with trivial character. We consider the well-known case Q(sqrt 5) as a benchmark for the procedure and to express the generators in Borcherds products. Those are lifts of suitable elliptic modular forms and can be rewritten as a locally uniformly convergent product of elementary factors. Their zeros including multiplicities can be computed explicitely. In addition the behavior of Hilbert modular forms under various transformations can be predicted in a way such that in many cases we can deduce obligatory zeros. There exists a map descending from the ring of Hilbert modular forms to the ring of elliptic modular forms induced by the embedding of H as diagonal in H^n. In the cases regarded in this work, Q(sqrt 5), Q(sqrt 13) and Q(sqrt 17), it suffices to find a sufficient number of generators of the ring of Hilbert modular forms. The proof that a sufficient number of generators has been determined works in each case according to the following pattern: The descent function maps a Hilbert modular form f of positive weight on an elliptic modular form. From the given generators we construct a Hilbert modular form with same weight and same image in the ring of elliptic modular forms and subtract it from f. The resulting modular form vanishes on the diagonal in H^n, so it is a multiple of the most simple of the Borcherds products which vanishes of first order on the diagonal and all equivalent points modulo Hilbert's modular group and is zero-free everywhere else. The quotient of the resulting modular form over the Borcherds product has lower weight than f and the statement follows by induction, since all modular forms of weight 0 are constant and there are no modular forms of negative weight. The work is partitioned into into several parts. We begin with the comparison of the different definitions of Hilbert modular forms. Then we present some special Hilbert modular forms, like Eisenstein series and Poincare series, and examine different elliptic modular forms wich will be needed later on. Subsequently, we introduce Borcherds products in our case and develope general characteristics of Hilbert modular forms. Finally the reduction method supplies the desired results, the generators of the rings of Hilbert modular forms for symmetric multiplier systems as well as for trivial character. An overview over related questions follows.

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