Functional renormalization group studies of quantum transport through mesoscopic systems

Jakobs, Severin Georg; Schoeller, Herbert

doi:999910015203

Functional renormalization group studies of quantum transport through mesoscopic systems = Untersuchungen von Quantentransport durch mesoskopische Systeme mit der funktionalen Renormierungsgruppe

Jakobs, Severin Georg^RWTH*

2010

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Severin Georg Jakobs

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2010

UmfangX, 205 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Schoeller, Herbert (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2009-12-22

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-33307
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/63166/files/3330.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Renormierungsgruppe (Genormte SW) ; Elektronischer Transport (Genormte SW) ; Nichtgleichgewicht (Genormte SW) ; Physik (frei) ; Funktionale Renormierungsgruppe (frei) ; Keldysh-Formalismus (frei) ; Anderson-Störstelle (frei) ; Luttingerflüssigkeit (frei) ; functional renormalization group (frei) ; quantum transport (frei) ; nonequilibrium (frei) ; Anderson impurity (frei) ; Luttinger liquid (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 530
pacs: 05.10.Cc * 72.10.-d * 73.63.-b * 05.70.Ln

Kurzfassung
Fortschritte in der Fertigung von Mikrostrukturen ermöglichen es, einzelne, gezielt entworfene, mesoskopische Elemente von einer Größe im Nano- bis Mikrometerbereich zu kontaktieren. Die Eigenschaften solcher quasi null- oder eindimensionalen Systeme werden von der Elektron-Elektron-Wechselwirkung empfindlich beeinflußt. Dies äußert sich in theoretischen Untersuchungen häufig darin, daß eine störungstheoretische Behandlung der Wechselwirkung zu Divergenzen führt. Erfolgreich kann dann das Anwenden einer Renormierungsgruppen-Methode (RG) sein, deren Grundgedanke es ist, die unterschiedlichen Energieskalen von hohen zu niedrigen nacheinander zu berücksichtigen. In der funktionalen RG (fRG) wird eine exakte, unendliche Hierarchie von Flußgleichungen für Vielteilchen-Green- oder Vertexfunktionen aufgestellt, die systematische Näherungen verschiedener Güte erlaubt. Zahlreiche Studien haben die Leistungsfähigkeit der fRG bei der Untersuchung niederdimensionaler fermionischer Systeme demonstriert. Meist wird sie im Rahmen des Matsubara-Formalismus angewandt, der Systeme im thermischen Gleichgewicht beschreibt. Ein Kernthema dieser Arbeit ist es, die fRG innerhalb des Keldysh-Formalismus umzusetzen, der einen einheitlichen Zugang zu Gleichgewicht und Nichtgleichgewicht bietet. Die so entwickelte Keldysh-fRG wird in dieser Arbeit verwendet, um die stationären Transporteigenschaften eines Quantendrahts mit mehreren Barrieren und die einer Anderson-Störstelle zu untersuchen. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in den Keldysh-Formalismus und zugehörige Konzepte. Anschließend wird die Struktur der Green- und Vertexfunktionen im Keldysh-Formalismus untersucht. Dabei werden unter anderem Folgen der Kausalität und Charakteristika des thermischen Gleichgewichts behandelt und entsprechende Beziehungen für die Vielteilchen-Funktionen formuliert. Dann wird die Umsetzung der fRG im Rahmen des Keldysh-Formalismus detailliert vorgestellt. Dabei werden die Flußgleichungen für die Vertexfunktionen über deren diagrammatische Entwicklung hergeleitet. Zwei besonders geeignete Flußparameter werden herausgearbeitet: Einer davon schneidet die imaginären Frequenzen ab, die als Pole der Fermi-Funktionen der Reservoire auftreten. Der andere besteht in einer künstlichen Vergrößerung der Hybridisierung der Reservoire; er hat einerseits den Vorteil, im Gleichgewicht das Fluktuations-Dissipations-Theorem auch in frequenzabhängigen Näherungen zu erhalten; andererseits ist seine Handhabung stellenweise etwas mühsamer. Eines der beiden Modelle, die in dieser Arbeit untersucht werden, ist eine tight-binding-Kette mit Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn. Sie gehört im Falle schwacher und mittlerer Wechselwirkungen zu den Luttingerflüssigkeiten (LFen), deren Niederenergieverhalten durch Potenzgesetze bestimmt wird. Die Transporteigenschaften von LFen wurden experimentell unter anderem anhand von Kohlenstoff-Nanoröhrchen untersucht. Dabei verkomplizieren die an den Kontakten gegebenen Transportbarrieren die Interpretation der Meßergebnisse. Die fRG erlaubt es, die Barrierenkonfiguration flexibel zu modellieren. In dieser Arbeit wird sie zuerst in ihrer Matsubara-Variante verwendet, um die Temperaturabhängigkeit des linearen Leitwerts in Gegenwart von zwei, drei oder vier Barrieren zu untersuchen. Es wird gezeigt, daß die Temperatur eine Phasenmittelung verursacht und so zu Kombinationen der Potenzgesetz-Exponenten der einzelnen Barrieren führt. Ein experimenteller Aufbau zum Nachweis dieses Effekts wird vorgeschlagen. In einem zweiten Schritt wird die Keldysh-Variante der fRG verwendet, um Transport durch einen Quantendraht bei endlicher Spannung zu untersuchen. Im Falle zweier starker Kontakt-Barrieren stellt sich heraus, daß die Nichtgleichgewichts-Verteilung der Teilchen im Draht ein doppeltes Potenzgesetz in der Zustandsdichte hervorruft. Mit Hilfe einer zusätzlichen, schwach angekoppelten Sondierungsleitung können die zwei Potenzgesetze im Leitwert sichtbar gemacht werden. Das zweite Modell, das untersucht wird, ist das einer einzelnen Anderson-Störstelle; es wird häufig als Paradebeispiel starker, lokaler Korrelationen zwischen Elektronen angesehen. Diese machen sich in Form der Kondo-Skala bemerkbar, einer Energie, die exponentiell klein in der Wechselwirkungsstärke ist und das Niederenergie-Verhalten des Modells im Bereich der Spin-Fluktuationen bestimmt. Auf Grundlage dieses Modells wird in dieser Arbeit eine erweiterte, frequenzabhängige Näherung zur Keldysh-fRG entwickelt. Sie berücksichtigt auch nächstführende Auswirkungen der Wechselwirkung, nämlich die Tatsache, daß die Zweiteilchen-Wechselwirkung Zerfallsraten für Einteilchen-Zustände generiert. Die Herleitung eines stimmigen Näherungsschemas wird dargestellt; dieses erweist sich als geeignet, um das Modell bei mäßiger Wechselwirkungsstärke zu beschreiben.

The progress in micro-fabrication technologies makes it possible to address individual, tailored, mesoscopic structures with sizes on a nanometer to micrometer scale. The transport properties of such quasi zero- or one-dimensional systems are considerably influenced by the electron-electron interaction. In theoretical studies this often becomes apparent in the emergence of divergences in a perturbative treatment of the interaction. A successful approach may then be given by renormalization group (RG) methods which are based on the idea of treating energy scales successively from high to low. In the functional RG (fRG) an exact infinite hierarchy of flow equations for multi-particle Green or vertex functions is derived, that allows for systematic approximations on different levels. In numerous studies the fRG has been found to be a powerful tool for the investigation of low dimensional Fermi systems. Usually it is formulated within Matsubara formalism which applies to a system in thermal equilibrium. A central topic of this thesis is the implementation of the fRG within Keldysh formalism, providing the possibility to treat equilibrium and non-equilibrium situations on equal footing. The resulting Keldysh fRG is used in this thesis to explore the transport properties of quantum wires with several barriers and of the single impurity Anderson model. The thesis starts with an introduction to Keldysh formalism and to related concepts. Then the structure of the Green and vertex functions of Keldysh formalism is investigated. This includes studying the consequences of causality, characterizing thermal equilibrium, and formulating corresponding relations for the multi-particle functions. After that, the implementation of the fRG within Keldysh formalism is presented in detail. The flow equations for the vertex functions are derived via their diagrammatic expansion. Two especially useful flow parameters are determined: one of them cuts off the imaginary frequencies that appear as poles of the Fermi functions of the reservoirs. The second flow parameter is an artificially enhanced reservoir hybridization; on one hand it has the advantage to preserve the fluctuation dissipation theorem in equilibrium even in frequency dependent approximations; on the other hand, its use can be more cumbersome. One of the models studied in this thesis is a tight-binding chain with nearest-neighbour interaction. At weak and intermediate interactions it belongs to the class of Luttinger liquids (LLs) whose low energy properties are characterized by power laws. The transport properties of LLs have been studied experimentally for example on carbon nanotubes. However, the presence of transport barriers at the contacts make the interpretation of the experimental data difficult. A theoretical treatment with the fRG permits a rather large flexibility to model the barrier configuration. In this thesis the fRG is first used in its equilibrium Matsubara implementation in order to analyse the temperature dependence of the linear conductance in the presence of two, three or four barriers. It is shown that temperature induces an averaging over quantum phases of propagation, leading to combinations of the power law exponents of the individual barriers. An experimental set-up that allows to verify this behaviour is proposed. In a second step the Keldysh version of the fRG is applied to the problem of transport through a quantum wire at finite bias voltage. For a wire with two high contact barriers it is found that the non-equilibrium particle distribution in the wire is responsible for the appearance of a two-fold power law in the density of states. An additional weakly attached probe lead can be used to make the two different power laws visible in the conductance. The second model which is analysed is the one of the single Anderson impurity, often considered as a paradigm for the investigation of strong local electron correlations. The latter become noticeable in the appearance of the Kondo scale, an energy exponentially small in the interaction strength, that characterizes the low energy physics of the model in the regime of spin fluctuations. On the basis of this model an advanced frequency dependent approximation for the Keldysh fRG is developed in this thesis. Such an approximation can account for subleading effects of the interaction, namely the fact that two-particle interactions can generate decay rates for single-particle states. The derivation of a consistent approximation scheme is presented, that turns out to yield a good description of the model at moderate interaction strength.

Fulltext:
PDF