h1

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000711813 1001_ $$0P:(DE-82)IDM00671$$aSchmidtmann, Birte$$b0$$urwth
000711813 245__ $$aOn building blocks of finite volume methods : Limiter functions and Riemann solvers$$cvorgelegt von Dipl.-math. techn. Birte Schmidtmann$$honline
000711813 246_3 $$aKomponenten der Finite Volumen Methoden$$yEnglish
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000711813 300__ $$a1 Online-Ressource (x, 163 Seiten) : Illustrationen, Diagramme
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000711813 3367_ $$0PUB:(DE-HGF)11$$2PUB:(DE-HGF)$$aDissertation / PhD Thesis$$bphd$$mphd
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000711813 502__ $$aDissertation, RWTH Aachen University, 2017$$bDissertation$$cRWTH Aachen University$$d2017$$gFak01$$o2017-10-19
000711813 500__ $$aVeröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2018
000711813 5203_ $$aIn dieser Arbeit interessieren wir uns für die numerische Lösung von Erhaltungsgleichungen mit Finite-Volume-Methoden von hoher Ordnung. Hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen sind besonders anspruchsvoll, da auch glatte Anfangsbedingungen in endlicher Zeit Unstetigkeiten entwickeln können. Solche Probleme naiv mit hoher-Ordnung Methoden zu diskretisieren könnte zu unerwünschten Oszillationen bei Diskontinuitäten führen. Methoden erster Ordnung haben dieses Problem nicht, da Schocks ausgeschmiert werden. Dennoch sind hohe- Ordnung Schematagefragt, da sie den Vorteil haben, eine feste Fehlerschranke bereits auf gröberen Gittern zu erreichen als Methoden niedrigerer Ordnung. Dies reduziert die Gesamtrechenzeit und damit die Gesamtkosten. Limiter Funktionen kombinieren die Vorteile mehrerer Methoden und ändern das Schema von hoher zu niedrigerer Ordnung wenn nötig. Dies vermeidet Oszillationen bei Diskontinuitäten bei gleichzeitiger Erhaltung der hohen-Ordnung Genauigkeit in glatten Teilen der Lösung. Dadurch sind die resultierenden Schemata anwendbar auf physikalisch relevante Probleme, deren Lösungen oft glatte Teile als auch Diskontinuitäten, große Steigungen oder Schocks enthalten. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Schemas von dritter-Ordnung Genauigkeit. Dies wird durch die Verbesserung einzelner Grundbausteine der Finite Volumen Methode erreicht. Hierzu identifizieren wir die wichtigsten Routinen des Verfahrens und präsentieren neue Konzepte zu ihrer Verbesserung. Wir konzentrieren uns auf zwei Bausteine. Erstens, die hohe-Ordnung Rekonstruktion von Zwischenzellwerten mit Limiter Funktionen und zweitens die numerische Flussfunktion, auch Riemann Löser genannt. Ersteres ist entscheidend für die Konvergenzordnung der Lösung während letzteres die Menge der Dissipation bestimmt, die dem Schema hinzugefügt wird. Wir entwickeln eine neue dritte-Ordnung Rekonstruktion für die räumliche Approximation von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Diese Rekonstruktion schaltet zwischen erster und dritter Ordnung, was zu einem Schema führt, das in glatten Teilen der Lösung hohe Ordnung erreicht und bei Diskontinuitäten keine Oszillationen erzeugt. Außerdem wird das Abschneiden von glatten Extremstellenvermieden, ein Nachteil bei total-variationsvermindernden (TVD) Methoden. Der neue Limiter ist kompakt, da nur Zellmittelwerte der zentralen Zelle so wieder direkten Nachbarzellen benötigt werden. Darüber hinaus bleibt die Rekonstruktion in der Struktur von traditionellen zweite-Ordnung Verfahren, was die Implementierung des Limiters in bestehenden Codes erleichtert. Schließlich umfasst der Limiter ein Entscheidungskriterium ohne künstliche Parameter, welches Schocks und große Gradienten von Extremstellen unterscheidet. Die so erhaltenen Rekonstruktionen auf beiden Seiten der Zellgrenzen werden dann als Eingabewert der numerischen Flussfunktion genutzt, welche lokale Riemann Probleme löst. Daher bezeichnet man sie auch als Riemann-Löser. In den letzten Jahrzehnten wurden viele solcher Löser entwickelt. Allerdings fügen die meisten klassischen Löser dem Schema zu viel Dissipation hinzu, so dass Diskontinuitäten ausgeschmiert werden. Andererseits brauchen Riemann Löser, die weniger (die minimal nötige Menge) Dissipation hinzufügen, Informationenüber der Eigenstruktur, was insbesondere für große Systeme aufwendig ist. Daher besteht die Notwendigkeit neue Riemann Löser zu entwickeln, die wenig Informationen des Eigensystems benötigen aber immer noch alle Wellen des Systems mit weniger Dissipation reproduzieren als klassische Methoden wie Rusanov oder Harten- Lax-van Leer (HLL). Wir präsentieren eine hybride Familie von Riemann Lösern, die lediglich einen Schätzwert der global schnellsten Wellengeschwindigkeit in beide Richtungen benötigt. Daher sind die neuen Löser besonders effizient für große Systeme von Erhaltungsgleichungen, bei denen keine explizite Formulierung des Eigensystems verfügbar ist oder diese zu aufwendig zu berechnen ist. Zur Validierung der entwickelten Schemata führen wir eine Reihe von numerischen Experimenten durch. Zuerst zeigen wir, dass der neue Limiter die gewünschte dritte Ordnung Genauigkeit für glatte Funktionen erreicht. Testfälle umfassen linearen Transport mit glatten und unstetigen Anfangsbedingungen, Euler Gleichungen und ideale Magnetohydrodynamik (MHD). Die Probleme werden auf äquidistanten und nicht-äquidistanten Gittern in einer und zwei Dimensionen präsentiert, außerdem auf kartesischen Gittern mit adaptiver Gitterverfeinerung. In einem zweiten Schritt wird die hybride Familie von Riemann Lösern getestet. Hier zeigen wir, dass die neu entwickelten Löser weniger Dissipation induzieren als vergleichbare Löser. Dies führt zu höher aufgelösten Kanten und weniger ausgeschmierten Diskontinuitäten. Numerische Beispiele enthalten linearen Transport, Euler-Gleichungen, MHD-Gleichungen, sowie die regularisierten 13-Momenten- Gleichungen (R13). Schließlich werden beide Teile dieser Arbeit kombiniert, um Ergebnisse dritter Ordnung zu erhalten. Wir rekonstruieren mit dem neuen dritte-Ordnung Limiter und fügen die rekonstruierten Zwischenzellwerte in die hybride Familie von Riemann Lösern ein. Für alle numerischen Beispiele testen wir auch vergleichbare Methoden, um die Qualität der entwickelten Schemata zu überprüfen. Die Lösungen, die mit den neu entwickelten Methoden erhalten wurden zeigen bessere oder vergleichbar gute Ergebnisse und eine sehr gute Leistung.$$lger
000711813 520__ $$aIn this thesis we are interested in numerically solving conservation laws with high-order finite volume methods. Hyperbolic systems of partial differential equations are especially challenging since even smooth initial flows may develop discontinuities in finite time. Naively discretizing such flows with high-order schemes may lead to undesired oscillations at discontinuities. First-order methods do not encounter this problem since shocks are smeared out. Nevertheless, high-order schemes are in demand because they have the advantage of reaching a fixed error bound on coarser grids than low-order methods. This reduces the overall computational time and thus the total cost. Combining the advantages of several methods, limiter functions change from high- to low-order whenever necessary. This avoids oscillations at discontinuities while maintaining high-order accuracy at smooth parts of the solution. Thus, the resulting schemes are applicable to physically relevant problems which often contain smooth parts as well as large gradients, discontinuities, or shocks. The aim of this work is the development of third-order finite volume methods by improving building blocks of the method. This means, we identify main routines in the finite volume framework and present new concepts for improving their performance. We focus on two building blocks. First, the high-order reconstruction of interface values using limiter functions. Second, the numerical flux function, also referred to as Riemann solver. The former is crucial for the order of accuracy of the solution while the latter determines the amount of dissipation added to the scheme. We develop a new third-order accurate reconstruction function for the spatial approximation of hyperbolic conservation laws. This reconstruction switches between first- and third-order, resulting in a scheme which is high-order accurate in smooth parts of the solution, does not create oscillations at discontinuities, and avoids extrema clipping as encountered by total variation diminishing (TVD) methods. The novel limiter only needs information from the cell of interest and its nearest neighbors, thus keeping the stencil as compact as possible for obtaining third order accuracy. Furthermore, the reconstruction remains in the traditional second-order framework, easing the implementation of the limiter in existing codes. Finally, a decision criterion without artificial parameters is incorporated in the limiter. This decision criterion distinguishes shocks and large gradients from extrema, thus ensuring accurate shock capturing. The obtained reconstructions at each side of the cell boundaries are then inserted into the numerical flux function which solves local Riemann problems. Many numerical flux functions, also referred to as Riemann solvers, have been developed over the last decades. However, most classical solvers add too much dissipation to the scheme such that discontinuities are smeared out. On the other side of the spectrum, Riemann solvers that do not add too much dissipation need information on the eigen structure which is costly to compute for large systems. There is the need for new Riemann solvers that avoid solving for the eigen system and still reproduce all waves of the system with less dissipation than classical methods such as Rusanov and Harten-Lax-van Leer (HLL). We present a hybrid family of Riemann solvers, requiring only an estimate of the globally fastest wave speeds in both directions. Thus, the new solvers are particularly efficient for large systems of conservation laws when no explicit expression for the eigen system is available or expensive to compute. For the validation of the developed schemes we conduct a series of numerical experiments. First, we demonstrate that the novel high-order limiter function obtains the desired third-order accuracy for smooth solutions. Test cases includes mooth and discontinuous linear transport, Euler equations, and ideal magneto hydrodynamics (MHD). Problems are presented in one and two space dimensions, on uniform as well as non-uniform grids and with adaptive mesh refinement. In a second step, the hybrid family of Riemann solvers is tested in a first-order framework. Here, we show that the newly developed solvers induce less dissipation than schemes with comparable input data. This leads to sharper gradients and less smearing at discontinuities. Numerical examples contain linear transport, Euler equations, ideal MHD, as well as the regularized 13-moment equations (R13).Finally, both parts of this work are combined to obtain third-order accurate results. We reconstruct using the novel third-order limiter and insert there constructed interface values into the hybrid family of Riemann solvers. For all numerical examples, we also implement comparable methods to ascertain the quality of our schemes. The solutions obtained with the newly developed methods indeed indicate better or equally-good results and an excellent performance.$$leng
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000711813 7001_ $$aMarquina, Antonio$$b2$$eThesis advisor
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