Differentiation of numerical simulations with embedded nonlinear systems and integrals

Safiran, Niloofar; Ábrahám, Erika; Naumann, Uwe

doi:HT019685258

Differentiation of numerical simulations with embedded nonlinear systems and integrals

Safiran, Niloofar^RWTH*

2018 & 2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Niloofar Safiran

ImpressumAachen 2018

Umfang1 Online-Ressource (iv, 163 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2019

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Naumann, Uwe (Thesis advisor)^RWTH* ; Ábrahám, Erika (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2018-04-27

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-223992
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/723136/files/723136.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/723136/files/723136.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
algorithmic and symbolic differentiation (frei) ; differentiation of integrals (frei) ; differentiation of nonlinear systems (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 004

Kurzfassung
Der Ablauf eines Systems oder Prozesses kann durch Simulation analysiert werden. Eine Simulation eines Systems beginnt mit dem Entwurf und der Entwicklung eines Modells des ausgewählten (tatsächlichen oder theoretischen) Systems unter Berücksichtigung seiner Schlüsseleigenschaften und seines Verhaltens. Computersimulation soll das entsprechende Modell auf einem digitalen Computer ausführen und die Ergebnisse der Ausführung analysieren. Der Zweck der Simulation besteht darin, die Auswirkung verschiedener Bedingungen oder Änderungen auf ein System zu untersuchen und zu analysieren. Für den Fall, dass ein Computersimulationsmodell optimiert werden muss, sollte ein Optimierungsalgorithmus darauf angewendet werden. Aufgrund der Abhängigkeit vieler numerischer Algorithmen zur Optimierung von Ableitungsinformationen des zugrundeliegenden Problems ist eine effiziente Bewertung der Ableitung sehr wichtig. Für den Fall, dass die Ableitungsinformation des Simulationssystems benötigt wird (zum Beispiel für die Optimierung), sollten die Ableitungen seiner eingebetteten Systeme evaluiert werden. Nichtlineare Systeme sind die Systeme, bei denen die Ausgabewert nicht direkt proportional zu der Eingabewert ist, und dies ist in vielen mathematischen und physikalischen Systemen der Fall. Die Navier-Stokes-Gleichungen in der Fluiddynamik sind Beispiele für nichtlineare Differentialgleichungen. In der Physik wird die Integration sehr oft verwendet, zum Beispiel für die Berechnung der Arbeit, bei der Arbeit das Integral der Kraft über eine Entfernung ist, oder als ein anderes Beispiel für die Berechnung des elektrischen Flusses, der das Integral des elektrischen Feldes über einer Oberfläche ist. Gemäß den oben erwähnten Systemen existieren viele Simulationssysteme mit eingebetteten nichtlinearen Systemen und / oder eingebetteten (ein- oder mehrdimensionalen) Integralen. Zur Optimierung der entsprechenden Simulationssysteme mit einer abgeleiteten Methode sollten auch die Ableitungen der eingebetteten Integral(e) und eingebetteten nichtlinearen Gleichung(en) ausgewertet werden. Daher werden verschiedene Ansätze zur Berechnung der Ableitungen von Integralen und nichtlinearen Gleichungen hinsichtlich der Berechnungskomplexität, des Speicherbedarfs und der Konvergenz verglichen, und am Ende wird man in der Lage sein, das optimale Differenzierungsverfahren zu wählen, falls ein nichtlineares System vorliegt und / oder ein- oder mehrdimensionales Integral im System. Andererseits werden die Ableitungen nicht nur für die Optimierung benötigt, sondern beispielsweise auch zur Approximation einer Funktion bei Taylor-Series. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass eine Funktion durch Verwendung einer endlichen Anzahl von Termen ihrer Taylor-Series approximiert werden kann, werden die Ableitungen auch für diese Näherung verwendet, und wenn eine gewisse Genauigkeit erforderlich ist, sollten die Ableitungen mit höherer Ordnung berechnet werden. Daher eine effiziente Bewertung der Ableitungen höherer Ordnung ist auch entscheidend. Ziel ist es, die bessere Differentiationsalternative für den Fall zu wählen, dass die Ableitungen erster und höherer Ordnung eines Systems mit eingebettetem nichtlinearem System und / oder (ein- oder mehrdimensionalem) Integral in Bezug auf Laufzeit und Speicherbedarf bewertet werden.

The operation of a system or process can be studied by simulation. A simulation of a system starts with designing and developing a model of the selected (actual or theoretical) system by considering its key characteristics and behaviors. Computer simulation is to execute the corresponding model on a digital computer and analyze the results of the execution. The purpose of simulation is to examine and analyze the effect of different conditions or changes on a system. In case that a computer simulation model needs to be optimized, an optimization algorithm should be applied on it. Due to dependence of a lot of numerical algorithms for optimization on derivative information of the underlying problem, efficient evaluation of the derivatives is very important. In the case that the derivative information of the simulation system is required (for example for optimization), the derivatives of its embedded systems should be evaluated. Nonlinear systems are the systems in which the output is not directly roportional to the input and this is the case in many mathematical and physical systems. The Navier-Stokes equations in fluid dynamics are examples of nonlinear differential equations. In physics, integration is used very often, for example, for computing the work, where work is the integral of force over a distance, or as another example, for computing electric flux, which is the integral of the electric field over a surface. According to the above mentioned systems, there exists many simulation systems with embedded nonlinear systems and/or embedded (one- or multidimensional) integrals. For optimization of the corresponding simulation systems with a derivative-based method, the derivatives of the embedded integral(s) and embedded nonlinear equation(s) should also be evaluated. Therefore, different approaches to compute the derivatives of integrals and nonlinear equations are compared in terms of computational complexity, memory requirement and convergence and at the end, one will be able to choose the optimal differentiation method in case of having nonlinear system and/or (one- or multidimensional) integral in the system. On the other hand, the derivatives are not only needed for optimization, but also for example for approximating a function applying Taylor series. Considering the fact that a function can be approximated by using a finite number of terms of its Taylor series, the derivatives are also used for this approximation and if a certain amount of precision is required, higher-order derivatives should be computed, therefore, it is also crucial to have an efficient evaluation of the higher-order derivatives. The goal is to choose the better differentiation alternative in case of evaluating the first- and higher-order derivatives of a system with embedded nonlinear system and/or (one- or multidimensional) integral in terms of run time and memory requirement.

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