On symmetric critical points of knot energies

Gilsbach, Alexandra Philippa; von der Mosel, Heiko; Strzelecki, Pawel

doi:37246

On symmetric critical points of knot energies = Über Symmetrische Kritische Punkte von Knotenenergien

Gilsbach, Alexandra Philippa^RWTH*

2018

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Alexandra Philippa Gilsbach, M.Sc.

ImpressumAachen 2018

Umfang1 Online-Ressource (137 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)^RWTH* ; Strzelecki, Pawel (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2018-04-26

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-224748
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/726186/files/726186.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/726186/files/726186.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Knotenenergie (frei) ; knot energy (frei) ; symmetric criticality (frei) ; Menger curvature (frei) ; O'Hara Energy (frei) ; Gamma-convergence (frei) ; periodicity (frei) ; torus knots (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Dissertation betrachten wir die Energielandschaft von Knotenenergien. Konkret geht es um die Frage, ob es in einer Knotenklasse mehr als einen kritischen Punkt gibt. Als Vorbild dient die Arbeit zur Ropelength-Energie von Cantarella et al.. Wir wenden das Prinzip der Symmetrischen Kritikalität von Palais an, um die Existenz verschiedener symmetrischer kritischer Punkte in Torusknotenklassen für drei Familien stetig differenzierbarer Knotenenergien zu zeigen: Die Integrale Mengerkrümmung M_p, die Tangenten-Punkt-Energien T(r,q) sowie die O’Hara-Energien E_alpha. Dabei nutzen wir unter Anderem aus, dass ein fester Torusknoten nicht zwei oder mehr teilerfremde Perioden besitzen kann, also Rotationssymmetrien, bei denen der Knoten die Rotationsachse nicht schneidet. Für diese Aussage liefern wir einen neuen, geometrischen Beweis. Außerdem stellen wir Experimente mit dem numerischen Gradientenfluss für M_p von Hermes vor, die Hinweise darauf geben, ob symmetrische kritische Punkte stabile kritische Punkte oder Sattelpunkte sind. Wir präsentieren numerische Hinweise darauf, dass sich für steigendes p die Minimierer von M_p denen der Ropelength-Energie annähern. Anschließend weisen wir analytisch die Konvergenz der Minimierer von M_p gegen Minimierer der Ropelength nach und zeigen ein analoges Resultat für die symmetrischen kritischen Punkte. Dazu weisen wir nach, dass die Integrale Mengerkrümmung für p gegen unendlich gegen die Ropelength-Energie Gamma-konvergiert.

In this thesis, we examine the energy landscape of knot energies, trying to gain information about whether in a knot class there is more than one critical point. Motivated by the work of Cantarella et al. we use the principle of symmetric criticality of Palais to show the existence of several symmetric critical points in torus knot classes for three families of continuously differentiable knot energies: the Integral Menger curvature M_p, the Tangent Point energies T(r,q) and the O’Hara energies E_alpha. A tool we need is that a fixed torus knot may not have two or more relative prime periods, i.e. rotational symmetries where the knot is disjoint from the axis of rotation. We give a geometrical proof for this. We present experiments with a numerical gradient flow for M_p established by Hermes to gain numerical evidence on whether the symmetric critical points are stable critical points or saddle points. The numerical results suggest that minimisers of M_p convergeto minimisers of the Ropelength functional. We give an analytical proof for this, showing that M_p Gamma-converges to Ropelength for p tending to infinity. With this result we are able to prove the convergence of minimisers and symmetric critical points of M_p to those of Ropelength.

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