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000761464 245__ $$aA space-time approach to two-phase stokes flow: well-posedness and discretization$$cvorgelegt von M.Sc. Igor Voulis$$honline
000761464 246_3 $$aEin Raum-Zeit-Ansatz für Zweiphasen Stokes Strömungen: Wohlgestelltheit und Diskretisierung$$yGerman
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000761464 300__ $$a1 Online-Ressource (136 Seiten)
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000761464 500__ $$aVeröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
000761464 502__ $$aDissertation, RWTH Aachen University, 2019$$bDissertation$$cRWTH Aachen University$$d2019$$gFak01$$o2019-04-23
000761464 5203_ $$aIn dieser Dissertation betrachten wir zeitabhängige Navier-Stokes Zweiphasenströmungen. Ein Standardmodell mit einer scharfen Phasengrenze für die Zweiphasenströmungsdynamik wird aus analytischer und numerischer Perspektive untersucht. Das Navier-Stokes Phasengrenzproblem hat unstetige Massendichte- und Viskositätskoeffizienten. In so einer Situation sind der Druck und die Geschwindigkeit unstetig auf der sich bewegenden Phasengrenze. Ein eng verwandtes lineares Problem ist das Zweiphasen-Stokes-Problem. Obwohl dieses lineare Stokes-Problem eine starke Vereinfachung der Navier-Stokes Zweiphasenströmung ist, ist es ein gutes Modellproblem für die Entwicklung numerischer Methoden. Insbesondere sind wir an einer wohlgestellten Variationsformulierung dieses Zweiphasen-Stokes-Problems in einer Eulerschen Form interessiert. Wir bevorzugen eine Eulersche Formulierung des Zweiphasen-Stokes-Problems, da wir das Problem in euklidischen Koordinaten diskretisieren. Mehrere wohlgestellte Formulierungen werden betrachtet. Wir zeigen die Wohlgestelltheit von einer variationellen Formulierung in geeigneten Räumen divergenzfreier Funktionen. Eine Variante mit einem Lagrange-Multiplikator für den Druck wird auch betrachtet. In Anbetracht einer diskontinuierlichen Galerkin (DG) Methode geben wir eine wohlgestellte Formulierung mit zeitlichen Unstetigkeiten des Problems an. Die Variationsformulierung mit zeitlichen Unstetigkeiten und einer Druckvariable für die Divergenzbedingung ist ein natürlicher Anfangspunkt für eine Raum-Zeit Finite-Elemente-Diskretisierung. Wir betrachten DG Methoden für abstrakte parabolische Probleme mit inhomogenen linearen Bedingungen. Dies umfasst das Stokes-Problem mit inhomogenen (zeitabhängigen) Dirichlet-Randdaten und/oder einer inhomogenen Divergenzbedingung. Ein anderes derartiges Problem ist die Wärmeleitungsgleichung mit einer inhomogenen Randbedingung. Es gibt zwei gängige Mittel um abstrakte Sattelpunktprobleme zu behandeln: explizit und implizit (mittels eines Lagrange-Multiplikators). Daher werden unterschiedliche Variationsformulierungen für das parabolische Problem mit linearen Bedingungen eingeführt. Für diese Formulierungen werden unterschiedliche Modifizierungen des Standard DG Zeitdiskretisierungsverfahrens betrachtet. Unterschiedliche Möglichkeiten um die lineare Bedingung zu behandeln, z.B. durch eine geeignete Projektion, werden eingeführt und analysiert. Für diese Diskretisierungen werden optimale Fehlerabschätzungen hergeleitet, unter anderem die Superkovergenz. Fehlerschranken für den Lagrange-Multiplikator werden dargelegt. Numerische Resultate bestätigen die theoretischen optimalen Konvergenzgeschwindigkeiten und zeigen, dass sich das (Standard) DG Verfahren ohne Modifizierung suboptimal verhält. Wir betrachten zwei explizite Beispiele: die Wärmeleitungsgleichung und das Stokes-""Problem. In beiden Fällen werden volldiskrete Methoden besprochen, wobei die DG Zeitdiskretisierung kombiniert wird mit einer räumlichen kontinuierlichen Galerkin (CG) Methode. Für die Wärmeleitungs\-gleichung zeigen wir eine optimale Fehlerschranke bezüglich der Energienorm. Für das Stokes-Problem werden dynamische räumliche Gitter betrachtet, da dies ein nützliches Mittel ist, um den Rechenaufwand für Zweiphasenströmungen, die nur ein feines Gitter an der sich bewegenden Phasengrenze benötigen, zu begrenzen. Für das Einphasen-Stokes-Problem zeigen wir globale Fehlerschranken, die lokal optimal sind. Dies wird für die Geschwindigkeit und den Druck gezeigt. Ein Raum-Zeit-Verfahren für das Zweiphasen-Stokes-Problem wird eingeführt, einschließlich eines diskreten Zeitableitungsoperators mit einem unstetigen, zeitabhängigen Koeffizienten. Mehrere numerische Experimente werden durchgeführt mittels des Softwarepaketes DROPS. Standard Finite-Elemente-Räume haben schlechte Approximationseigenschaften für unstetige Unbekannte. Wir zeigen die Stärke einer erweiterten Finite-Elemente-Methode. Diese ermöglicht uns die Behandlung des unstetigen Druckes und bietet uns eine verbesserte Methode.$$lger
000761464 520__ $$aIn this thesis we consider a time-dependent Navier-Stokes two-phase flow. A standard sharp interface model for the fluid dynamics of two-phase flows is studied both from an analytical and a numerical perspective. The Navier-Stokes interface problem has discontinuous density and viscosity coefficients. In such a setting the pressure solution and gradient of the velocity solution are discontinuous across an evolving interface. A closely related linear problem is the two-phase Stokes problem. Despite the fact that this linear Stokes interface problem is a strong simplification of the two-phase Navier-Stokes flow, it is a good model problem for the development of numerical methods. We are particularly interested in a well-posed variational formulation of this Stokes interface problem in a Eulerian setting. We prefer a Eulerian formulation of the Stokes interface problem because we discretize the problem in Euclidean coordinates. Several well-posed formulations are considered. We prove the well-posedness of a variational space-time formulation in suitable spaces of divergence free functions. A variant with a pressure Lagrange multiplier is also considered. With a discontinuous Galerkin (DG) method in mind, we formulate a well-posed discontinuous-in-time version of the problem. The discontinuous-in-time variational formulation involving the pressure variable for the divergence free constraint is a natural starting point for a space-time finite element discretization. Such methods are discussed in an abstract setting in this thesis. We consider discontinuous Galerkin time discretization methods for abstract parabolic problems with inhomogeneous linear constraints. This includes the Stokes problem with an inhomogeneous (time-dependent) Dirichlet boundary condition and/or an inhomogeneous divergence constraint. Another problem of this kind is the heat equation with an inhomogeneous boundary condition. Two common ways of treating abstract saddle-point problems exist, namely explicit or implicit (via Lagrange multipliers). Therefore, different variational formulations of the parabolic problem with constraints are introduced. For these formulations, different modifications of a standard discontinuous Galerkin time discretization method are considered. Different ways of treating the linear constraints, e.g. ~by using an appropriate projection, are introduced and analyzed. For these discretizations, optimal error bounds, including superconvergence results, are derived. Discretization error bounds for the Lagrange multiplier are presented. Results of experiments confirm the theoretically predicted optimal convergence rates and show that without a modification the (standard) DG method has suboptimal convergence behavior. We consider two explicit examples: the heat equation and the (two-phase) Stokes problem. Fully discrete schemes are discussed in both cases, where the temporal DG scheme is combined with a spatial continuous Galerkin (CG) scheme. For the heat equation we show an optimal error bound with respect to the energy norm. For the Stokes problem a dynamic spatial mesh is considered because it is a useful tool to limit the computational cost for two-phase flow problems where a fine mesh is only necessary near the moving interface. In the case of the one-phase Stokes problem, we show global error bounds which are locally optimal. This is done for the velocity and for the pressure Lagrange multiplier. A space-time scheme for the two-phase Stokes problem is introduced, including a discrete temporal derivative with a discontinuous time-dependent coefficient. Several numerical experiments are performed in the software package DROPS. Standard finite element spaces have a poor approximation quality for discontinuous unknowns. We show the merit of the use of an extended finite element method. This allows us to treat the discontinuity in pressure and gives us an improved method.$$leng
000761464 588__ $$aDataset connected to Lobid/HBZ
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000761464 653_7 $$aSaddle-point problem
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000761464 7001_ $$aStevenson, Rob$$b2$$eThesis advisor
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