Path integral methods for correlated activity in neuronal networks

Kühn, Tobias; Honerkamp, Carsten; Helias, Moritz

doi:39141

Path integral methods for correlated activity in neuronal networks = Pfadintegralmethoden für korrelierte Aktivität in neuronalen Netzwerken

Kühn, Tobias^RWTH*

2019 & 2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Tobias Kühn

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (xviii, 271 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2020

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Helias, Moritz (Thesis advisor)^RWTH* ; Honerkamp, Carsten (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-12-16

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-01833
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/782370/files/782370.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Ising model (frei) ; binary neuron (frei) ; chaos (frei) ; correlation (frei) ; effective action (frei) ; functional renormalization group (frei) ; local field potential (frei) ; oscillations (frei) ; stochastic field theory (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 530

Kurzfassung
Nervensysteme höher entwickelter Lebewesen bestehen aus sehr vielen Zellen. Das menschliche Gehirn, um ein sehr komplexes Beispiel zu nennen, setzt sich aus fast 100 Milliarden Neuronen zusammen, die über bis zu eine Billiarde Synapsen miteinander wechselwirken. Ein wesentliches Ziel der theoretischen Neurowissenschaft ist es, die Funktionsweise dieses komplizierten Systems aufgrund der Interaktion seiner Einzelteile zu ergründen. Viele Methoden dafür sind der Vielteilchenphysik entlehnt, genauer der klassischen (nicht-quantenmechanischen) statistischen Physik. Eine wichtige Gemeinsamkeit biologischer neuronaler Netzwerke und der üblichen Gegenstände der statistischen Physik ist, dass sich beide mit Modellen von stochastischen (“verrauschten”) Prozessen beschreiben lassen. Die Berechnung messbarer Größen aus diesen Modellen ist häufig schwierig, weshalb nach Näherungslösungen gesucht wird. Hervorzuheben ist hierbei die Mean-Field-Näherung (“Molekularfeld-Näherung”), innerhalb derer Fluktuationen stark vereinfacht behandelt werden. Obwohl dadurch in den meisten Fällen viele Effekte vernachlässigt werden, liefert dieser Ansatz in der Neurowissenschaft häufig quantitativ richtige Ergebnisse. In dieser Arbeit nutzen wir die statistische Feldtheorie um derartige Näherungen für verschiedene Systeme herzuleiten, wenden sie auf konkrete Probleme an und untersuchen Methoden, sie zu verbessern. Um die Interaktion zwischen verschiedenen Neuronen zu erfassen, wird die Beschreibung der Aktivität eines einzelnen Neurons häufig auf die Frage reduziert, ob es aktiv ist oder nicht (binäres Modellneuron). Mithilfe der Mean-Field-Theorie dieses Modellneurons beschreiben wir, durch welche Mechanismen sich die Korrelationen zwischen Paaren von Neuronen verändern, wenn ein Netzwerk von einem zeitlich variierenden Stimulus getrieben wird. Um von experimentell ermittelter Aktivität auf die Verbindungen des untersuchten Netzwerks zu schließen, wird die binäre Darstellungsform neuronaler Aktivität ebenfalls häufig verwendet. Wir leiten die Mean-Field-Theorie des diesem Verfahren zugrunde liegenden Ising-Modells mithilfe von Feynman-Diagrammen her. Den hierfür benötigten Formalismus erweitern wir auf Entwicklungen um nicht-Gaußische Theorien, wie es das Ising-Modell ohne Kopplung ist. Weiterhin untersuchen wir im Rahmen der Mean-Field-Theorie die Statistik der neuronalen Aktivität in einem ungeordneten Netzwerk und dessen Empfindlichkeit auf Störungen. Eine verallgemeinerte Herangehensweise ermöglicht es uns, diese Ergebnisse mit der Statistik und Dynamik von Netzwerken aus Raten-Modellneuronen zu vergleichen. In letzterem Modell wird jede Nervenzelle allein durch die Rate charakterisiert, die angibt, wie häufig sie aktiv wird. Wir verwenden es in einem anderen Kontext um verschiedene Pfadintegral-Formalismen zu vergleichen, innerhalb derer durch stochastische Differentialgleichungen beschriebene neuronale Aktivität dargestellt werden kann. Dabei zeigen wir, wie die Mean-Field-Theorie durch eine Entwicklung in sogenannten Schleifen systematisch korrigiert werden kann und wie die dabei entstehenden Korrektur-Terme interpretiert werden können, sollte sie sich für einen bestimmten Parametersatz als unzureichend erweisen. Eine weitere Möglichkeit zur Verbesserung der Mean-Field Näherung bietet die funktionale Renormierungsgruppe, die wir beispielhaft auf ein einfaches Modell für ein biologisches Netzwerk anwenden.

Nervous systems of highly developed organisms consists of very many cells. The human brain, to name a very complex example, is composed of nearly 100 billion neurons, that are connected via up to thousand trillion synapses. It is an essential aim of theoretical neuroscience to discover the functioning of this complicated system on the basis of the interaction of its individual parts. Many methods for achieving this goal are borrowed from many particle physics - classical (non-quantum-mechanical) statistical physics, to be precise. An important common property of biological neuronal networks and the usual subjects of statistical physics is that both can be described by models of stochastic (“noisy”) processes. The calculation of measurable quantities from these models is often difficult, for which reason approximate solutions are sought for. Here, the role of mean-field theory deserves to be emphasized, in which fluctuations are treated in a strongly simplified form. Even though in most cases many effects are neglected by this approach, it often yields quantitatively correct results in neuroscience. In this work, we use statistical field theory to derive this and related approximations for different systems, apply them to concrete problems and examine methods to improve them. To capture the interaction amongst different neurons, the description of the activity of a single neuron is often reduced to the question if it is active or not (binary model neuron). By means of its mean-field theory, we describe by which mechanisms the correlations between pairs of neurons change, when a network is driven by a stimulus varying in time. For inferences about the connections in an examined network from experimentally detected activity, the binary representation of neuronal activity is frequently used, as well. This method relies on the Ising model whose mean-field theory we derive using Feynman diagrams. We extend the formalism needed for this purpose to include expansions around non-Gaussian theories like the Ising model without coupling. Furthermore, we examine the statistics of the neuronal activity in an disordered network and its susceptibility to perturbation in mean-field theory. A generalized framework enables us to compare these results with the statistics and dynamics of networks consisting of rate model neurons. In the latter model, each nerve cell is solely characterized by the rate, which indicates how frequently it gets active. We use it in a different context to compare different path integral formalisms representing neuronal activity described by stochastic differential equations. Here we show how mean-field theory can be systematically corrected by the so called loop expansion and how the emerging correction terms can be interpreted in case mean-field theory should prove insufficient for a certain set of parameters. Another possibility to improve mean-field approximations is given be the functional Renormalization Group, whose application to simple models of biological networks we demonstrate for an example.

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