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000789753 001__ 789753 000789753 005__ 20251015163424.0 000789753 0247_ $$2HBZ$$aHT020464339 000789753 0247_ $$2datacite_doi$$a10.18154/RWTH-2020-05412 000789753 0247_ $$2Laufende Nummer$$a39246 000789753 037__ $$aRWTH-2020-05412 000789753 041__ $$aEnglish 000789753 082__ $$a510 000789753 1001_ $$0P:(DE-588)1211045064$$aKrämer, Sebastian$$b0$$urwth 000789753 245__ $$aTree tensor networks, associated singular values and high-dimensional approximation$$cvorgelegt von Sebastian Krämer, M.Sc$$honline 000789753 246_3 $$aBaum Tensor-Netzwerke, assoziierte Singulärwerte und hochdimensionale Approximation$$yGerman 000789753 260__ $$aAachen$$c2020 000789753 300__ $$a1 Online-Ressource (xvi, 205 Seiten) : Illustrationen, Diagramme 000789753 3367_ $$02$$2EndNote$$aThesis 000789753 3367_ $$0PUB:(DE-HGF)11$$2PUB:(DE-HGF)$$aDissertation / PhD Thesis$$bphd$$mphd 000789753 3367_ $$2BibTeX$$aPHDTHESIS 000789753 3367_ $$2DRIVER$$adoctoralThesis 000789753 3367_ $$2DataCite$$aOutput Types/Dissertation 000789753 3367_ $$2ORCID$$aDISSERTATION 000789753 500__ $$aVeröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 000789753 502__ $$aDissertation, RWTH Aachen University, 2020$$bDissertation$$cRWTH Aachen University$$d2020$$gFak01$$o2020-04-27 000789753 5203_ $$aIn dieser Arbeit entwickeln wir eine algebraische und graphentheoretische Neuinterpretation von Tensor-Netzwerken und Formaten. Wir untersuchen die Eigenschaften der zugehörigen Singulärwerte und deren Bedeutung für hochdimensionale Approximation, insbesondere hinsichtlich der Anpassung der Modellkomplexität. Dies führt uns zu einem Konzept der Stabilität für iterative Optimierungsverfahren, welches wir ausführlich anhand von diskreter Matrix- und Tensorvervollständigung diskutieren. Ferner verallgemeinern wir diese Ideen bis hin zur approximativen Lösung von nicht gleichmäßig strukturierten Datensätzen und demonstrieren das Potential der vorgestellten Algorithmen anhand von einem Datensatz der Walzvorgänge beschreibt. Diese weitgehend algorithmischen Überlegungen werden ergänzt und unterstützt durch die theoretische Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Tensor-Singulärwerten und dem so genannten quantum marginal problem. Tensor-Netzwerke sind im Wesentlichen multilineare Abbildungen, die die Zusammenhänge innerhalb von Mengen von Tensoren darstellen. Im ersten Teil diskutieren wir, wie zwei grundlegende und vertraute mathematische Konzepte eine Arithmetik ergeben, die solche Netzwerke auf natürliche Art beschreibt, und welche die zugrunde liegenden, einfachen graphentheoretischen Strukturen durch universelle Aussagen formalisiert. Die Praktikabilität dieser Konzepte spiegelt sich in den einfachen Implementierungen wider, die auch für bekannte Algorithmen behandelt werden. Als zentrales Theorem dieser Arbeit dient die verallgemeinernde Baum-Singulärwertzerlegung, die, obwohl nicht neu in ihrer Grundidee, verschiedene Normalisierungsbedingungen von bestimmten Tensor-Formaten vereint. Im zweiten Teil werden Details der hochdimensionalen, alternierenden Optimierung der kleinsten Quadrate in Baum-Tensor-Netzwerken diskutiert, die gerade solche Familien von Tensoren sind, welche kreisfreie Graphen bilden. Aufgrund der besonderen Eigenschaften dieser Klasse von Formaten können auch hochdimensionale Probleme effektiv gelöst werden, insbesondere wenn die auftretenden, linearen Teilprobleme mit einem Verfahren der konjugierten Gradienten gelöst werden. Im Anschluss zu diesem einführenden Abschnitt untersuchen wir die Bedeutung der Singulärwerte in diesem Kontext. Da die Modellkomplexität durch die Tensorränge bestimmt wird, wird deren richtige Kalibrierung unerlässlich um korrekte Lösungen für Rekonstruktionsprobleme zu erhalten. Basierend auf einer bestimmten Definition der Stabilität führen wir Modifikationen für die gewöhnliche, alternierende Optimierung der kleinsten Quadrate ein und diskutieren diese, sowie deren Beziehung zu l1-Minimierung. Wir demonstrieren insbesondere den Nutzen dieser Konzepte für Rang adaptive Algorithmen. Jene werden weiter vom diskreten zum kontinuierlichen Fall verallgemeinert, welchen wir auf die approximative Interpolation von simulierten Walzvorgängen anwenden. Da die Singulärwerte, die aus den Tensor-Netzwerken hervorgehen, von unterschiedlichen Matrifizierungen desselben Tensors stammen, stellt sich die Frage nach dem Zusammenhang zwischen diesen. Im dritten Teil zeigen wir zunächst, dass das Problem der Realisierbarkeit von Singulärwerten einer Version des quantum marginal problem entspricht. Während letzteres in der Physik seit mehreren Jahrzehnten bekannt ist, wird die Variante, die aus der Mathematik hervorgeht, erst seit recht kurzer Zeit untersucht. Wir übertragen verschiedenen Ergebnisse in unseren Sachverhalt und nutzen die Baum-Singulärwertezerlegung um dazugehörige, hochdimensionale Probleme in deutlich einfachere und kleinere zu entkoppeln. Schlussendlich betrachten wir insbesondere die Situation für das tensor train Format, was uns zur Theorie über Kegel, sogenannten honeycombs sowie der Anwendungen linearer Programmierung führt.$$lger 000789753 520__ $$aIn this thesis, we develop an algebraic and graph theoretical reinterpretation of tensor networks and formats. We investigate properties of associated singular values and demonstrate their importance for high-dimensional approximation, in particular for model complexity adaption. This leads us to a concept of stability for iterative optimizations methods which we discuss at length for discrete matrix and tensor completion. We further generalize these ideas to the approximate interpolation of scattered data, and demonstrate the potential of the introduced algorithms on a data set that describes rolling press experiments. These largely algorithmic considerations are supplemented and supported by the theoretical examination of the interrelation between tensor singular values, and its relation to the quantum marginal problem. Tensor networks are essentially multilinear maps which reflect the connections between collections of tensors. In the first part, we discuss how two familiar concepts in mathematics yield an arithmetic that naturally describes such networks, and which formalizes the underlying, simple graph structures through universal assertions. The practicability of this calculus is reflected on by the straightforward implementations, which we provide also of well known algorithms. As a central theorem of this thesis serves the generalizing tree singular value decomposition, which, while not novel in its basic idea, incorporates various gauge conditions that stem from different, corresponding tensor formats. In the second part, we discuss details of high-dimensional, alternating least squares optimization in tree tensor networks, which are those families of tensors that form tree graphs. Due to the special properties of this class of formats, even high-dimensional problems can effectively be handled, in particular when the occurring, linear subproblems are solved via a conjugate gradient method. Subsequent to this introductory segment, we investigate the meaning of singular values in this context. As the model complexity is determined by the tensor ranks of the iterate, the proper calibration of such becomes essential in order to obtain reasonable solutions to recovery problems. Based on a specific definition of stability, we introduce and discuss modifications to standard alternating least squares as well as the relation to reweighted l1-minimization. We in particular demonstrate the use of these concepts for rank-adaptive algorithms. Such are further generalized from the discrete to the continuous setting, which we apply to the approximate interpolation of rolling press simulations. As the singular values associated to tensor networks stem from different matricizations of the same tensor, the question about the interrelation between such arises. In the third part we first show that the tensor feasibility problem is equivalent to a version of the quantum marginal problem. While the latter one has been well known in physics for multiple decades, the tensor version originating from mathematics has only recently been considered. We transfer several results into our setting and subsequently utilize the tree singular value decomposition in order to decouple high-dimensional feasibility problems into much simpler, smaller ones. Last but not least, we specifically consider this situation for the tensor train format, which leads us to cone theory, so-called honeycombs and the application of linear programming algorithms.$$leng 000789753 588__ $$aDataset connected to Lobid/HBZ 000789753 591__ $$aGermany 000789753 653_7 $$aalternating least squares 000789753 653_7 $$afeasibility 000789753 653_7 $$ahierarchical Tucker format 000789753 653_7 $$ahigh-dimensional approximation 000789753 653_7 $$ahoneycombs 000789753 653_7 $$alinear programming 000789753 653_7 $$alow-rank tensor formats 000789753 653_7 $$aquantum marginal problem 000789753 653_7 $$arank adaption 000789753 653_7 $$areweighted l1-minimization 000789753 653_7 $$asingular values 000789753 653_7 $$atensor completion 000789753 653_7 $$athin-plate splines 000789753 653_7 $$atree tensor networks 000789753 7001_ $$0P:(DE-82)IDM00722$$aGrasedyck, Lars$$b1$$eThesis advisor$$urwth 000789753 7001_ $$0P:(DE-82)013748$$aSchneider, Reinhold$$b2$$eThesis advisor 000789753 7001_ $$aBackmayr, Markus$$b3$$eThesis advisor 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753.pdf$$yOpenAccess 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753_source.tar$$yRestricted 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753.gif?subformat=icon$$xicon$$yOpenAccess 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753.jpg?subformat=icon-1440$$xicon-1440$$yOpenAccess 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753.jpg?subformat=icon-180$$xicon-180$$yOpenAccess 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753.jpg?subformat=icon-640$$xicon-640$$yOpenAccess 000789753 8564_ $$uhttps://publications.rwth-aachen.de/record/789753/files/789753.jpg?subformat=icon-700$$xicon-700$$yOpenAccess 000789753 909CO $$ooai:publications.rwth-aachen.de:789753$$pdnbdelivery$$pdriver$$pVDB$$popen_access$$popenaire 000789753 9101_ $$0I:(DE-588b)36225-6$$6P:(DE-588)1211045064$$aRWTH Aachen$$b0$$kRWTH 000789753 9101_ $$0I:(DE-588b)36225-6$$6P:(DE-82)IDM00722$$aRWTH Aachen$$b1$$kRWTH 000789753 9141_ $$y2020 000789753 915__ $$0StatID:(DE-HGF)0510$$2StatID$$aOpenAccess 000789753 9201_ $$0I:(DE-82)111410_20170801$$k111410$$lLehrstuhl für Angewandte Mathematik und Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (N.N.)$$x0 000789753 9201_ $$0I:(DE-82)110000_20140620$$k110000$$lFachgruppe Mathematik$$x1 000789753 961__ $$c2020-06-18T09:05:03.817414$$x2020-05-19T12:56:22.790135$$z2020-06-18T09:05:03.817414 000789753 9801_ $$aFullTexts 000789753 980__ $$aI:(DE-82)110000_20140620 000789753 980__ $$aI:(DE-82)111410_20170801 000789753 980__ $$aUNRESTRICTED 000789753 980__ $$aVDB 000789753 980__ $$aphd