Stabilization and uncertainty quantification for systems of hyperbolic balance laws

Gerster, Stephan; Herty, Michael; Göttlich, Simone; Frank, Martin

doi:10.18154/RWTH-2020-05678

Stabilization and uncertainty quantification for systems of hyperbolic balance laws

Gerster, Stephan^RWTH*

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Stephan Gerster

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (V, 145 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Herty, Michael (Thesis advisor)^RWTH* ; Frank, Martin (Thesis advisor) ; Göttlich, Simone (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-04-21

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-05678
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/791892/files/791892.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
exponential stability (frei) ; feedback control (frei) ; hyperbolic balance laws (frei) ; networks (frei) ; stochastic Galerkin (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Wir betrachten die Wohlgestelltheit und die Stabilisierung von eindimensionalen Systemen von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen auf Netzwerken. Das p-System ist von besonderem Interesse. Es beinhaltet Flachwassergleichungen, die Wasser in Kanälen modellieren, und es beinhaltet isothermale Eulergleichungen, die Gasdynamiken in Pipelines beschreiben. Weil diese Versorgungsnetzwerke üblicherweise in einem Gleichgewichtszustand betrieben werden, präsentieren wir Randwertkontrollen, welche die Stabilisierung von Perturbationen der Gleichgewichtszustände garantieren. Dabei nehmen wir linearisierte Modelle an und wir nutzen Lyapunov Funktionen, die Konvergenzraten für die Abweichungen zu Gleichgewichtszustände liefern. Hinreichende Bedingungen werden präsentiert, die explizite Abfallraten für die exponentiell schnell fallende Lyapunov Funktionen liefern. Des Weiteren präsentieren wir upwind- und downwind Diskretisierungen, welche kontinuierliche Stabilitätsresultate erhalten. Größere Schwankungen werden durch stochastische Prozesse modelliert, deren Dynamiken durch nichtlineare, hyperbolische Systeme beschrieben sind. Die Abhängigkeit der Lösung von dem stochastischen Input wird a priori durch eine Reihenentwicklung vorgeschrieben. Ein stochastischer Galerkin Ansatz wird verwendet, um deterministische Gleichung für die Koeffizienten der abgeschnittenen Reihenentwicklung zu erhalten. Wir präsentieren Bedingungen, welche die Lösbarkeit der Gleichungen für die Koeffizienten garantieren. Insbesondere werden Hyperbolizitätseigenschaften für die Galerkin Formulierung bewiesen. Weil Lösungen zu hyperbolischen Gleichungen Unstetigkeiten aufweisen, müssen diese in einer schwachen Formulierung betrachtet werden. Dann ist die Lösung nicht notwendigerweise eindeutig. Lösungen, welche nicht physikalisch sinnvoll sind, werden durch ein Entropieflusspaar aussortiert, welches wir für die Galerkin Formulierung für Flachwassergleichungen herleiten. Stabile finite Volumen Methoden führen Viskositäten ein, welche unstetige Lösungen glätten. Daher wird ein Roe Fluss, welche weniger dissipativ ist, für die Galerkin Formulierung der isothermalen Eulergleichungen eingeführt

We consider wellposedness and stabilization of one-dimensional systems of hyperbolic partial differential equations on networks. The p-system is of special interest. It includes shallow water equations, which model water flow in open channels, and it includes isothermal Euler equations, which model gas dynamics in pipelines. Since these supply systems are usually operated in a state of equilibrium, we present boundary controls that guarantee the stabilization of perturbations of steady states. Here, we assume linearized models and we use Lyapunov functions that yield estimates on the decay rates for deviations from the states of equilibrium. Sufficient conditions are presented that guarantee explicit decay rates for exponentially decaying Lyapunov functions. Furthermore, we present an upwind and downwind discretization that inherits continuous stability results. Larger perturbations are modelled as stochastic processes, whose evolutions are described by nonlinear hyperbolic systems. The dependency of the solution on the stochastic input is stated a priori by a series expansion. A stochastic Galerkin framework is used to obtain deterministic equations for the coefficients in truncated series expansions. We present conditions that guarantee the solvability of the equations for the coefficients. In particular, hyperbolicity properties are proven for the stochastic Galerkin formulations. Since solutions to hyperbolic equations admit discontinuities, they must be considered in a weak sense. Then, the solution is not necessarily unique. Non-physical solutions are singled out by an entropy-entropy flux pair, which we derive for the stochastic Galerkin formulation of shallow water equations. Stable finite volume methods introduce viscosities, which smear the discontinuous solutions. Therefore, a Roe flux, which is less dissipative, is deduced for the stochastic Galerkin formulation of isothermal Euler equations.

OpenAccess:
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