Analysis and numerical methods for coupled hyperbolic conservation laws

Sikstel, Aleksey; Herty, Michael; Rohde, Christian; Müller, Siegfried

doi:10.18154/RWTH-2020-07821

Analysis and numerical methods for coupled hyperbolic conservation laws = Analysis und numerische Methoden für gekoppelte hyperbolische Erhaltungssätze

Sikstel, Aleksey

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Aleksey Sikstel, M.Sc.

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (99 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Herty, Michael (Thesis advisor)^RWTH* ; Müller, Siegfried (Thesis advisor)^RWTH* ; Rohde, Christian (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-07-17

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-07821
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/794674/files/794674.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Euler equations (frei) ; coupled problems (frei) ; hyperbolic conservation laws (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Diese Dissertation behandelt die analytischen Eigenschaften der Lösungen von gekoppelten hyperbolischen Erhaltungssätzen sowie dazugehörige numerische Methoden. Der Fokus liegt auf zwei speziellen Problemen: (i) kompressible Gase gekoppelt mittels eines Gasgenerators und (ii) ein linear-elastisches Material gekoppelt mit einem kompressiblen Fluid. Die dafür entwickelten analytischen und numerischen Methoden sind auf eine breite Klasse von Kopplungsproblemen mit hyperbolischen Erhaltungssätzen anwendbar. In Kapitel 2 werden hyperbolische Erhaltungssätze eingeführt und grundlegende Konzepte wie schwache Lösungen, Rankine-Hugoniot Bedingungen, Entropielösungen und Lax-Kurven erläutert. Diese Konzepte dienen dazu, die lokale Lösung von Riemann-Problemen zu allgemeinen eindimensionalen Systemen von hyperbolischen Erhaltungssätzen zu beschreiben. In Kapitel 3 werden die Lösungen des Riemann-Problems mitbeliebigen, physikalisch zulässigen Anfangsbedingungen für die linear-elastische Gleichungen und die Eulergleichungen mit perfektem Gas vorgestellt. Diese Themen gelten als klassisch und dienen als Basis für die nachfolgenden Kapitel. In Kapitel 4 wird zunächst der allgemeine Rahmen für die Kopplung von hyperbolischen Erhaltungssätzen mittels Riemann-Problemen präsentiert. Anschließend wird diese Methode auf das Problem der Gasgeneratorkopplung und das Problem der Fluid-Struktur-Kopplung angewendet. Insbesondere werden die Bedingungen für die Existenzeiner eindeutigen Lösung dieser Probleme untersucht. Kapitel 5 beschäftigt sich mit den numerischen Methoden für Kopplungsprobleme. Ein Verfahren, das die allgemeine Kopplungsmethode aus Kapitel 4 im Kontext der Runge-Kutta Discontinuous Galerkin realisiert, wird demonstriert. Außerdem wird ein Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus für Kopplungsprobleme mit expliziten Zeitschemata eingeführt. Die numerischen Resultate mehrerer Simulationen werden präsentiert und analysiert. Für die Gasgeneratorkopplung werden drei Testfälle behandelt. Die ersten zwei Fälle modellieren eine realistische Situation in einem Gasnetzwerk und im dritten Fall werden extreme Bedingungen betrachtet, die zwar unrealistisch, jedoch für den Test der Kopplungsmethode hilfreich sind. Für die Fluid-Struktur-Kopplung wird die empirische Konvergenzordnung der numerischen Kopplungsmethode validiert. Dabei wird eine Lö-sung betrachtet, die aus einem Stoß im Fluid besteht, der sich gegen die Materialgrenze bewegt, an dieser anschließend reflektiert und in das elastische Material transmittiert wird. Weiterhin wird für eine ähnliche Lösung die empirische Konvergenzordnung unter Anwendung des Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus berechnet. Das Resultat zeigt, dass der Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus die Genauigkeit der Kopplungsmethode nicht beeinträchtigt und eine beachtliche Anzahl zu kleiner Zeitschritte einspart. Schließlich wird die Simulation einer heißen Blase in einem kalten Fluid präsentiert. Das Fluid wird mittels kompressiblen Eulergleichungen mit der Stiﬀened-Gas-Zustandsgleichung modelliert und der Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus wird angewendet. Die Lösung dieses Problems weist eine komplexe Wellenstruktur auf, die sich aus der Interaktion der Wellen, die aus der kollabierenden Blase entstehen, zusammensetzt. Diese Wellen werden an der Materialgrenze reflektiert sowie transmittiert und interagieren anschließend mit der heißen Blase. Kapitel 6 enthält ein Fazit und einen Ausblick.

This thesis is devoted to the study of analytic properties of solutions to coupled conservation laws and associated numerical methods. The focus is put on two particular problems: (i) a compressible gas coupled by means of a gas generator and (ii) a linear elastic material coupled with a compressible fluid. The analytical and numerical methods developed here are applicable to a broad class of coupled problems involving hyperbolic conservation laws. In Chapter 2 systems of hyperbolic conservation laws are defined and basic concepts, namely, weak solutions, Rankine-Hugoniot conditions, entropy solutions and Laxcurves are introduced. Based on these concepts, local solutions to the Riemann problem for general one-dimensional systems of hyperbolic conservation laws are presented. In Chapter 3, the Riemann problem for the linear elastic equations and the Euler equations with perfect gas equation of state are solved for arbitrary physically admissible initial conditions. Although the topics considered so far are classical and wellknown, they are required in the subsequent chapters. In Chapter 4 the general framework for the coupling of systems of hyperbolic conservation laws by means of Riemann problems is introduced. This framework is subsequently applied to the fluid-structure coupling problem and to Euler equations coupled by a gas generator. The conditions for the existence of unique solutions of each coupling problem is investigated. Chapter 5 deals with numerical methods for coupling problems. A procedure for the realisation of the general coupling framework from Chapter 4 incontext of Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods is presented. Moreover, a multilevel time stepping algorithm for coupled problems with explicit time stepping schemesis introduced. Numerical results of several simulations for both the fluid-structure and the gas gen-erator coupling problem are presented and investigated. Three test cases for the gas generator coupling problem are considered. Two of the cases are supposed to model a realistic situation while the third one postulates extreme conditions that do not occur in the real world, however, are useful to test the proposed methods. Moreover, the empirical order of convergence of the proposed numerical coupling method is validated for a fluid structure coupling solution of a shock hitting the solid-fluid interface, transmitted into the solid part and reflected into the fluid part. In addition, the empirical order of convergence of the multilevel time stepping method is computed for a similar test case. The result indicates that the multilevel time stepping method does not spoil the accuracy while saving a considerable amount of superfluous time steps in the fluid part. Finally, a test case of a two-dimensional hot bubble collapsing in the surrounding cold fluid is presented. The fluid part is modelled by the compressible Euler equations with stiﬀened gas equation of state and the multilevel time stepping method is applied. The solution to this test case exhibits a complex wave structure arising from waves that are emitted from the collapsing bubble. These waves are transmitted and reflected at the solid-fluid interface and subsequently interact with the hot bubble. Chapter 6 concludes the thesis and gives a brief outlook.

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