Contributions to statistical inference based on sequential order statistics from exponential and Weibull distributions

Johnen, Marcus; Kamps, Udo; Kateri, Maria

doi:39550

Contributions to statistical inference based on sequential order statistics from exponential and Weibull distributions = Beiträge zur Statistischen Inferenz basierend auf Sequenziellen Ordnungsstatistiken aus Exponential- und Weibullverteilungen

Johnen, Marcus^RWTH*

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Marcus Johnen, M.Sc.

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (vi, 165 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Kamps, Udo (Thesis advisor)^RWTH* ; Kateri, Maria (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-07-29

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-08694
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/795979/files/795979.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Weibull distribution (frei) ; bias (frei) ; confidence regions (frei) ; equivariance (frei) ; exponential distribution (frei) ; goodness-of-fit tests (frei) ; hypothesis testing (frei) ; invariance (frei) ; likelihood (frei) ; maximum likelihood estimation (frei) ; order statistics (frei) ; point estimation (frei) ; sequential order statistics (frei) ; statistics (frei) ; transformation models (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der Zuverlässigkeitstheorie und deren Anwendungen spielt die Modellierung der Lebensdauern von technischen Systemen mit mehreren Komponenten eine wichtige Rolle. Beispielsweise kann es von Interesse sein, die Lebensdauern von Komponenten eines k-von-n-Systems zu beschreiben, welches aus n identischen Komponenten besteht und solange funktioniert, wie mindestens k dieser Komponenten intakt sind. In vielen solchen Systemen erfahren die übrigen Komponenten nach dem Ausfall einer der Komponenten eine erhöhte Belastung. Dieser Effekt, auch „Load-Sharing-Effekt” genannt, kann z.B. durch sequenzielle Ordnungsstatistiken modelliert werden, die als Verallgemeinerung von gewöhnlichen Ordnungsstatistiken eingeführt wurden. In dieser Dissertation wird ein Untermodell mit proportionalen Ausfallraten für den Fall einer zugrundeliegenden Exponential- oder Weibull-Verteilung untersucht. Hierbei liegt der Schwerpunkt auf der Anpassung des Modells auf gegebene Daten. Im Einzelnen werden Themen der klassischen statistischen Inferenz wie Punktschätzer, Hypothesentests und Konfidenzbereiche besprochen. Zu diesem Zweck stellt sich die zugrundeliegende Struktur von Transformationsmodellen als nützlich heraus, welchen in der Literatur neben den Exponentialfamilien viel Beachtung geschenkt wird. Für das Modell der sequenziellen Ordnungsstatistiken mit einer zugrundeliegenden Exponentialverteilung führt der Transformationsmodellansatz zum Minimum-Risk-Equivariant-Schätzer als Alternative zum bereits bekannten Maximum-Likelihood-Schätzer (ML-Schätzer) und zum Uniformly-Minimum-Variance-Unbiased-Schätzer. Zusätzlichen stellen wir Methoden vor, um exakte Anpassungstests auf dieses Modell herzuleiten. Für das Modell mit einer zugrundeliegenden Weibull-Verteilung beweisen wir zunächst die Gültigkeit von bestimmten Regularitätsvoraussetzungen, die auf die Fisher-Informationsmatrix führen und die schließlich die Konsistenz und asymptotische Effizienz des ML-Schätzers zur Folge haben. Darüber hinaus zeigt sich, dass der ML-Schätzer gewisse Pivot-Eigenschaften erfüllt, bei denen die Verteilungen von einigen Funktionen, die sowohl den Schätzer als auch die Parameter beinhalten, unabhängig von wahren zugrundeliegenden Parametern sind. Tatsächlich zeigen wir, dass diese Eigenschaften ein Resultat der Äquivarianz des ML-Schätzers sind, was sie für eine größere Klasse von Schätzern gültig macht. Wir machen deutlich, dass der ML-Schätzer des Formparameters der zugrundeliegenden Weibull-Verteilung verzerrt ist und diskutieren nachfolgend einige Methoden zur Reduktion dieser Verzerrung, was zu einer Vielzahl alternativer, äquivarianter Schätzer führt. Durch Simulationen und unter Benutzung der oben genannten Pivot-Eigenschaften zeigen wir, dass diese Schätzer besser sind als der ML-Schätzer, auch im Hinblick auf ihre Varianz und den mittleren quadratischen Fehler. Verschiedene Nullhypothesen, zum Beispiel um die Eignung eines bestimmten Modells oder das Vorliegen eines „Load-Sharing-Effektes“ zu überprüfen, werden besprochen. Dabei werden drei bekannte Teststatistiken - Likelihood-Ratio, Rao‘s Score, und Wald‘s Statistik -angewandt, welche für gewöhnlich zu asymptotischen Tests führen. Die Struktur eines Transformationsmodells ermöglicht es jedoch, exakte Tests basierend auf diesen Statistiken zu konstruieren, die zudem einfacher durch Simulationen verglichen werden können. Nachfolgend werden exakte und asymptotische Konfidenzbereiche für den Weibull-Formparameter und für die Modellparameter der sequenziellen Ordnungsstatistiken thematisiert. In dem Fall, wo die Modellparameter bekannt sind und der Weibull-Formparameter der einzige unbekannte Parameter ist, ist es möglich, dass die zugehörige univariate Log-Likelihood-Funktion mehrere lokale Maxima aufweist, was beim Auffinden des ML-Schätzers zu Problemen führen kann. Dieser Umstand wird genauer untersucht und eine mögliche Lösung wird vorgestellt. Wir finden heraus, dass, anders als in der ähnlichen und bekannten Situation mit Stichproben einer Cauchy-Verteilung mit unbekanntem Lokationsparameter, dieses Problem dadurch verursacht wird, dass die zugehörige Kullback-Leibler-Divergenz mehrere lokale Minima aufweist. Abschließend werden zwei Ansätze für die Verallgemeinerung des Modells der sequenziellen Ordnungsstatistiken mit zugrundeliegender Weibull-Verteilung auf Verteilungen aus Log-Lokations-Skalen-Familien vorgeschlagen. Dabei stellt sich heraus, dass einige Eigenschaften bei diesem Übergang beibehalten werden, abhängig davon, ob die Struktur eines Transformationsmodells oder die Eigenschaft proportionaler Ausfallraten bewahrt werden soll. Zur Veranschaulichung wenden wir die hergeleiteten Methoden auf zwei in der Literatur besprochene, reale Datensätze an.

In reliability theory and applications, modeling the lifetimes of technical systems with several components plays an important role. For instance, interest may lie in describing the lifetimes of components within k-out-of-n systems which consist of n identical components and work as long as at least k of these components are running. In many such systems, the remaining components experience an increased load after some component has failed. This effect, also called load-sharing effect, can be modeled, e.g., by sequential order statistics which were introduced as a generalization of common order statistics. In this thesis, a sub-model ensuring proportional hazard rates is examined for the case of an underlying exponential or Weibull distribution. Here, the focus lies on questions regarding the fitting of this model to given data. More detailed, topics of classical statistical inference such as point estimation, hypothesis testing, and confidence sets are discussed. To this end, the underlying structure of transformation models proves helpful which gain much attention in the literature next to the theory of exponential families. For the model of sequential order statistics with an underlying exponential distribution, the transformation model approach leads to the minimum risk equivariant estimators of the model parameters as an alternative to the known maximum likelihood estimator (MLE) or the uniformly minimum variance unbiased estimator. In addition, we present a method to derive exact goodness-of-fit tests on this model. For the model with an underlying Weibull distribution, we start by proving certain regularity conditions which lead to the Fisher information matrix and which, eventually, implicate the consistency and asymptotic efficiency of the MLE of the model parameters. Moreover, the MLE is seen to satisfy certain pivotal properties where the distributions of several quantities comprising the estimator and the parameters are independent of the true underlying parameters. These properties are, in fact, shown to be a consequence of the equivariance of the MLE, which also proves them for a much larger class of estimators. We demonstrate that the MLE of the shape parameter of the underlying Weibull distribution is biased and subsequently discuss several methods for reducing this bias, leading to a variety of other equivariant estimators. By means of simulation and by utilizing the pivotal properties mentioned earlier, these alternative estimators are shown to be superior in terms of variance and mean squared error as well. Different null hypotheses, e.g. for testing the adequacy of one particular model or the presence of a load-sharing effect, are discussed. Here, three well-known test statistics given by the likelihood ratio, Rao’s score, and Wald’s statistic are applied which usually lead to asymptotic tests. However, the transformation model structure allows for the derivation of exact tests based on these statistics which can also be compared much easier via simulations. Thereafter, exact and asymptotic confidence sets for the Weibull shape parameter and for the model parameters of the sequential order statistics are addressed. In the case where the model parameters are known and the Weibull shape parameter is the only unknown parameter, the resulting univariate log-likelihood function may have multiple local maxima which might lead to problems when trying to find the MLE. This circumstance is further analyzed and a possible solution is addressed. We observe that, other than in a similar and well-known situation concerning samples from a Cauchy distribution with an unknown location parameter, this problem is seen to be caused by the corresponding Kullback-Leibler divergence having multiple local minima. Finally, two approaches are proposed to generalize the model of sequential order statistics from an underlying Weibull distribution to other distributions that stem from a log-location-scale family of distributions. Here, several properties are seen to be maintained during this transition depending on whether the transformation model structure or a proportional hazard rate property are conserved. For illustration, the methods derived in this thesis are applied to two real data sets discussed in the literature.

OpenAccess:
PDF
(additional files)