On the second variation of integral Menger curvature

Knappmann, Jan; von der Mosel, Heiko; Wagner, Alfred

doi:10.18154/RWTH-2020-09435

On the second variation of integral Menger curvature = Über die zweite Variation der integralen Mengerkrümmung

Knappmann, Jan^RWTH*

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Jan Knappmann, M.Sc.

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (vi, 321 Seiten)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)^RWTH* ; Wagner, Alfred (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-09-08

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-09435
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/802770/files/802770.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mengerkrümmung (frei) ; Menger (frei) ; Krümmung (frei) ; zweite Variation (frei) ; Kreis (frei) ; Minimierer (frei) ; curvature (frei) ; circle (frei) ; second variation (frei) ; minimizer (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Dissertation wird die Existenz der zweiten Variation des integralen Menger-Krümmungsfunktionals M_p für p>3 bewiesen, deren explizite Formel berechnet und diese benutzt um die geläufige Vermutung zu beweisen, dass der runde (gemeint als unverformte) Kreis ein isolierter lokaler Minimierer dieser Knotenenergie unter allen Raumkurven in R^3 ist. Die Existenz einer ersten Variation der integralen Menger-Krümmung wurde bereits von Hermes im Jahr 2014 bewiesen. Diesem gelang es auch mittels einer Formel für die erste Variation zu zeigen, dass der runde Kreis ein kritischer Punkt von M_p ist. Nach einigen Anpassungen und Weiterentwicklungen der von Hermes genutzten Methoden wird hier sowohl die Existenz als auch die konkrete Darstellung der zweiten sowie auch der dritten Variation von M_p nachgewiesen und davon eine Vermutung über die n-te Variation abgeleitet. Nach einer kurzen Einordnung der integralen Menger-Krümmung in den Kontext der geometrischen Knotenenergien betrachten wir eine skalierungsinvariante Version des Funktionals M_p, bezeichnet mit E_p, und setzen den runden Kreis c als Argument in deren zweite Variation D^2E_p(c)[ , ] ein. Um nun zu zeigen, dass der runde Kreis ein isolierter lokaler Minimierer von E_p ist, drücken wir die Störung Phi komponentenweise als Fourierreihe aus und schreiben den Ausdruck D^2E_p(c)[Phi,Phi] in eine aus den Fourierkoeffizienten von Phi bestehend Reihe um. Eine genauere Untersuchung dieser Reihe zeigt die positive Semi-Definitheit des Ausdrucke D^2E_p(c)[Phi,Phi]. Eine Taylor-Entwicklung zweiten Grades von E_p(c+t Phi) ermöglicht es zu zeigen, dass der Energiewert E_p(c+t Phi) für hinreichend kleine t stets echt größer als E_p(c) ist, falls die Störung Phi die Zusatzbedingung D^2E_p(c)[Phi,Phi]>0 erfüllt. Eine genauere Betrachtung des Kerns N_E der quadratischen Form D^2E_p(c)[ , ] erlaubt es, dieses Ergebnis auf sämtliche zulässigen Störungen zu übertragen, was die Minimierungseigenschaft des runden Kreises c beweist. Die beschriebenen Methoden werden anschließend auch bei der verwandten Tangenten-Punkt-Energie TP_q, genauer ihrer skalierungsinvarianten Version F_q, angewandt, über die bereits bekannt ist, dass es sich beim runden Kreis um den eindeutigen globalen Minimierer handelt. Auch wenn der Beweis der Minimalität damit nicht ohne weiteres reproduziert werden kann, so liefert dieses Vorgehen auch eine Reihendarstellung für D^2F_q(c)[Phi,Phi] sowie neue Einblicke in den zugehörigen Kern der quadratischen Form D^2F_q(c)[ , ].

In this thesis, we show the existence of a second variation of the integral Menger curvature functional M_p in the situation of p>3, compute its explicit formula, and use it to prove the common conjecture that the round (meaning undeformed) circle is an isolated local minimizer for the knot energy among all space curves in R^3. The existence of a first variation of the integral Menger curvature was already proven by Hermes in 2014 who could also use this formula to show that the round circle is a critical point of M_p. With some adaptations and further developements applied to Hermes' methods, we can show the existence and compute the formulas of both the second and third variation of M_p and derive a conjecture for the n-th variation from that. After we discuss integral Menger curvature in the context of geometric knot energies, we consider a scale invariant version of M_p denoted by E_p and insert the round circle c in its second variation D^2E_p(c)[ , ]. In order to show that the round circle is an isolated local minimizer of E_p, we express the perturbation Phi by Fourier series in each component and convert the term D^2E_p(c)[Phi,Phi] into a series expression consisting only of the Fourier coefficients of Phi. A close investigation of this series assures positive semi-definiteness for D^2E_p(c)[Phi,Phi] and a Taylor expansion of E_p(c+t Phi) up to the second degree allows to prove that for a sufficiently small t the energy values of E_p(c+t Phi) is strictly greater than E_p(c) for all Phi satisfying D^2E_p(c)[Phi,Phi]>0. A deeper analysis of the null space N_E of the quadratic form D^2E_p(c)[ , ] enables us to transfer this result to all possible perturbations Phi which is the claimed local minimizing property for the round circle c. We also apply the described strategies to the closely related tangent point energy TP_q, more accurately its scale invariant version F_q, for which it is already known that the round circle is the unique global minimizer. Although the proof of minimality can not be simply reproduced, the applied methods also provide a series expression for D^2F_q(c)[Phi,Phi] and new insights on the corresponding null space of D^2F_q(c)[ , ].

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