guest ::
Vanishing moments conditions for atomic decompositions of coorbit spaces on quasi-Banach spaces
2020 & 2021
Dissertation, RWTH Aachen University, 2020
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2021
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-10-02
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-12061
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/808437/files/808437.pdf
Einrichtungen
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
atomic decompositions (frei) ; coorbit theory (frei) ; vanishing moments (frei) ; wiener amalgam spaces (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
In dieser Arbeit leiten wir mit Hilfe von verschwindenden Momenten hinreichende und notwendige Bedingungen für analysierende Vektoren in der Klasse der Wavelet-Coorbit-Räume $\Co(L^p(\Rd\rtimes H))$ her. Wir betrachten dabei Coorbit-Räume zu einer quadratintegrierbaren, irreduziblen quasi-regulären Darstellung des Produktes $G=\Rd\rtimes H$ auf $L^2(\Rd)$. Die Gruppe $G$ enthält alle affinen Abbildungen, wobei die Dilatation aus einer zulässigen Gruppe $H$ stammt. Diese induziert eine invertierbare Wavelettransformation. Es ist bekannt, dass es eine Klasse von nicht kompakt getragenen, bandbeschränkten Schwartz-Funktionen gibt, die analysierende Vektoren für alle Wavelet-Coorbit-Räume sind (selbst für $p<1$). Da es wünschenswert ist, solche Vektoren mit kompaktem Träger zu haben, und da wir Vektoren mit kompaktem Träger und verschwindenden Momenten leicht konstruieren können, suchen wir Kriterien über diesen Zugang. Bisher sind verschwindende Momente Bedingungen im Fall $p<1$ nur für Spezialfälle bekannt. Wir erweitern bekannte Resultate aus dem Banach-Fall auf den quasi-Banach-Fall. Wir werden allgemeine hinreichende Kriterien für Wavelet-Coorbit-Räume herleiten, welche ein Kontrollgewicht der Form $v(x,y)=(1+|x|)^kg(h)$ haben. Zudem untersuchen wir das asymptotische Verhalten der verschwindenden Momente. Wir leiten Kontrollgewichte für alle $L^p(G)$ mit $p>0$ sowie eine untere Schranke für diese Gewichte her. Es stellt sich heraus, dass $\sim\frac1p$ verschwindende Momente ausreichen. Wir werden außerdem sehen, dass analysierende (sogar gute) Vektoren mit milden Regularitätsvoraussetzungen notwendigerweise verschwindende Momente der Ordnung $\sim\frac1p$ haben. Das impliziert, dass es kein universelles Wavelet mit kompaktem Träger gibt, welches analysierend für alle $p>0$ gleichzeitig ist.In this thesis, we derive sufficient and necessary criteria for analyzing vectors in the class of wavelet coorbit spaces $\Co(L^p(\Rd\rtimes H))$ using the notion of vanishing moments. More precisely, we consider wavelet coorbit spaces associated to a square-integrable, irreducible quasi-regular representation of the semi-direct product $G=\Rd\rtimes H$ on $L^2(\Rd)$. The group $G$ consists of affine mappings with dilation taken from an admissible dilation group $H$, which admits an invertible wavelet transform. Under certain conditions, analyzing vectors induce an atomic decomposition of their coorbit space. It is already known that there is a class of non-compactly supported bandlimited Schwartz functions, which are analyzing vectors for all of such wavelet coorbit spaces (even for $p<1$). However, since it is desirable to have compactly supported analyzing vectors, and since we can directly construct compactly supported vectors with vanishing moments, we develop criteria using this access. So far, vanishing moments results for quasi-Banach spaces are just known for some special cases. We will expand known vanishing moments results for Banach spaces ($p\geq1$) to quasi-Banach spaces in a very general way. We will derive sufficient criteria for coorbit spaces, which admit control weights of the form $v(x,y)=(1+|x|)^kg(h)$. Moreover, we study the asymptotic behavior of vanishing moments. We derive sufficient control weights for any $L^p(G)$ with $p>0$ as well as a lower bound for such control weights. It turns out that $\sim\frac1p$ vanishing moments are sufficient for analyzing vectors. Moreover, we see that analyzing vectors (and even good vectors) together with some mild regularity assumptions necessary have vanishing moments of order $\sim\frac1p$. This implies that one cannot find a compactly supported universal wavelet, which is analyzing for all $p>0$ simultaneously.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT020807351
Interne Identnummern
RWTH-2020-12061
Datensatz-ID: 808437
Beteiligte Länder
Germany
|
The record appears in these collections: |