Scale-invariant geometric curvature functionals, and characterization of Lipschitz- and $C^1$-submanifolds

Käfer, Bastian; von der Mosel, Heiko; Wagner, Alfred; Strzelecki, Pawel

doi:40427

Scale-invariant geometric curvature functionals, and characterization of Lipschitz- and $C^1$-submanifolds

Käfer, Bastian^RWTH*

2021

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Bastian Käfer, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2021

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)^RWTH* ; Wagner, Alfred (Thesis advisor)^RWTH* ; Strzelecki, Pawel (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-05-31

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-05824
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/820789/files/820789.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Graphendarstellung (frei) ; Möbius (frei) ; Reifenberg-flach (frei) ; Reifenberg-flat (frei) ; Tangenten-Punkt Energie (frei) ; Untermannigfaltigkeite (frei) ; graph representation (frei) ; scale-invariant (frei) ; skalierungsinvariant (frei) ; submanifolds (frei) ; tangent-point energy (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Dissertation wird der Zusammenhang lokaler Flachheit mit der Existenz von Graphendarstellungen gewisser Regularität für Teilmengen des $\mathbb R^n$ mit beliebiger Dimension $m\leq n$ untersucht. Es werden hinreichende Bedingungen formuliert, die lokale Graphendarstellungen der Klasse $C^{0,1}$ oder $C^1$ garantieren. Mengen, die eine solche lokale Darstellung an jedem Punkt ermöglichen, werden als Lipschitz- bzw. $C^1$-Untermannigfaltigkeit identifiziert. Darüber hinaus lässt sich die Klasse der $m$-dimensionalen $C^1$-Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb R^n$ basierend auf dem Prinzip von $\delta$-Reifenberg-flachen Mengen charakterisieren. Die erzielten Beobachtungen werden für die Untersuchung zweier Familien von geometrischen Krümmungsfunktionalen für verschiedene Klassen $m$-dimensionaler zulässiger Mengen verwendet. Dabei bleibt die Reifenberg-Flachheit ein entscheidendes Hilfsmittel, um aus der Annahme endlicher Energie weitere topologische und analytische Eigenschaften zu erhalten. Die erste Familie bildet die Tangenten-Punkt Energie $TP^{(k,l)}$, wobei der Fokus der Betrachtungen auf dem skalierungsinvarianten Fall $k=l+2m$ liegt. Es lässt sich zeigen, dass zulässige Mengen mit lokal endlicher Energie eingebettete Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb R^n$ sind, die lokale Lipschitz-stetige Graphendarstellungen besitzen. Weiterführend wird eine Beweistechnik von S. Blatt angewendet, um den Raum endlicher Energie von $TP^{(k,l)}$ für alle $l>m$ und $k\in[l+2m,2l+m)$ zu charakterisieren. Dieser ist gegeben durch die Klasse der $C^{0,1}\cap W^{\frac {k-m}l,l}$-Untermannigfaltigkeiten. Im Gegensatz zu den zuvor gemachten Beobachtungen verlangt der Beweis dieser Charakterisierung die Existenz von Graphendarstellungen mittels Lipschitz-stetiger Funktionen, um für $\mathscr{H}^m$-fast alle Punkte die Existenz einer Tangentialfläche für die Berechnung der Tangenten-Punkt Energie sicherzustellen. Basierend auf einer Arbeit von R. B. Kusner und J. M. Sullivan wird eine Familie $\mathcal{E}^\tau$ von Möbius-invarianten Energien für $m$-dimensionale Teilmengen des $\mathbb R^n$ definiert. Wie bereits für $TP^{(k,l)}$ beobachtet impliziert lokal endliche $\mathcal{E}^\tau$-Energie für zulässige Mengen ebenfalls die Existenz lokaler Lipschitz-stetiger Graphendarstellungen. Außerdem lässt sich für $\tau>0$ zeigen, dass jede lokalkompakte $C^{0,1}\cap W^{1+\frac 1{1+\tau},(1+\tau)m}$-Untermannigfaltigkeit des $\mathbb R^n$ lokal endliche $\mathcal{E}^\tau$-Energie besitzt.

In this thesis, we investigate the connection of local flatness and the existence of graph representations of certain regularity for subsets of $\mathbb R^n$ with arbitrary dimension $m\leq n$. In this process, we formulate sufficient conditions providing local graph representations of class $C^{0,1}$ and $C^1$. We identify sets satisfying those local representations at each point as Lipschitz- and $C^1$-submanifolds, respectively. Based on the concept of $\delta$-Reifenberg-flat sets, we introduce a characterization for the class of $m$-dimensional $C^1$-submanifolds of $\mathbb R^n$. We apply the gained information in the study of two families of geometric curvature functionals for different classes of $m$-dimensional admissible sets. Reifenberg-flatness remains to be a crucial tool to achieve additional topological and analytical properties assuming finite energy. The first class of functionals is given by the tangent-point energies $TP^{(k,l)}$ with focus on the scale-invariant case $k=l+2m$. We prove that admissible sets with locally finite energy are embedded submanifolds of $\mathbb R^n$ with local graph representations satisfying Lipschitz continuity. In a second step, using a technique of S. Blatt, we characterize the energy space of $TP^{(k,l)}$ for all $l>m$ and $k\in[l+2m,2l+m)$ as submanifolds of class $C^{0,1}\cap W^{\frac {k-m}l,l}$. In contrast to the first step, the proof of this characterization requires a priori given graph representations by Lipschitz functions in order to guarantee the existence of tangent planes for $\mathscr{H}^m$-almost all points in the computation of the tangent-point energy. Following the work of R. B. Kusner and J. M. Sullivan, we then define a family $\mathcal{E}^\tau$ of Möbius-invariant energies for $m$-dimensional subsets of $\mathbb R^n$. As for $TP^{(k,l)}$, locally finite $\mathcal{E}^\tau$-energy for admissible sets provides local graph representations satisfying Lipschitz continuity. We also prove that for $\tau>0$, each locally compact $C^{0,1}\cap W^{1+\frac 1{1+\tau},(1+\tau)m}$-submanifold of $\mathbb R^n$ has locally finite $\mathcal{E}^\tau$-energy.

OpenAccess:
PDF
(additional files)