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Symmetriereduktion polynomieller Vektorfelder = Symmetry reduction of polynomial vector fields
2021
Dissertation, RWTH Aachen University, 2021
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-07-21
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-10085
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/834702/files/834702.pdf
Einrichtungen
- Lehrstuhl A für Mathematik (114110)
- Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (Algebra) (114820)
- Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (114220)
- Fachgruppe Mathematik (110000)
Projekte
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
algebraic group (frei) ; invariant theory (frei) ; orbit space reduction (frei) ; symmetry (frei) ; toral group (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
In der vorliegenden Dissertation modifizieren wir die bekannte Orbitraummethode zur Symmetriereduktion polynomieller gewöhnlicher Differentialgleichungen im $\mathbb{R}^{n}$ oder $\mathbb{C}^{n}$, um ein praktikableres Reduktionsverfahren zu entwickeln. Die Symmetrien solcher Differentialgleichungen bilden eine lineare algebraische Gruppe. Ist diese nichttrivial und die Algebra der polynomiellen Invarianten der Symmetriegruppe endlich erzeugt, so liefert ein Erzeugendensystem dieser Invariantenalgebra eine Reduktionsabbildung. Diese Vorgehensweise ist als Orbitraumreduktion bekannt. Bei dieser Reduktionsmethode tritt jedoch häufig das Problem auf, dass selbst bei relativ einfachen Symmetriegruppen auch kleinstmögliche Erzeugendensysteme der Invariantenalgebra sehr groß sein können, wodurch das Bild der Reduktionsabbildung sehr kompliziert ist und nur in einen sehr hochdimensionalen Vektorraum eingebettet werden kann. Aufgrund dessen ist dieses Verfahren oft nicht praktikabel. Auf der anderen Seite besteht die Möglichkeit, mit rationalen Invarianten zu reduzieren. Hierbei ist die kleinstmögliche Anzahl von Erzeugern des Körpers der rationalen Invarianten durch n-s+1 beschränkt, wobei n die Ausgangsdimension bezeichnet und s die generische Bahndimension der Symmetriegruppe. Allerdings taucht hier das Problem unkontrollierter Nenner auf, sodass interessante invariante Mengen, welche durch die Symmetrie bedingt sind, bei dieser Reduktionsmethode verloren gehen und die Existenz einer Reduktion an einem bestimmten Punkt nicht garantiert werden kann. Aufgrund der jeweiligen Probleme beider Reduktionsmethoden entwickeln wir einen Mittelweg zwischen beiden Verfahren, welcher sowohl das Problem der sehr großen Erzeugendensysteme als auch der unkontrollierten Nenner lösen soll, also die Vorteile aus beiden Verfahren vereint. Dazu verwenden wir geeignet gewählte Lokalisierungen. Wir zeigen mit Hilfe von invarianten Mengen, welche von der Symmetriegruppe induziert werden, dass es zu einem zuvor gewählten Punkt, an dem die Reduktion durchgeführt werden soll, eine Lokalisierung gibt, sodass die auftretenden Nenner an diesem Punkt nicht verschwinden, und die Anzahl der benötigten Erzeuger für die Invarianten auf maximal n-s+2 beschränkt werden kann. Aus einem solchen Erzeugendensystem erhalten wir dann eine lokale Reduktionsabbildung auf eine algebraische Varietät, welche maximal Kodimension 2 in ihrem Einbettungsraum hat. Da in Anwendungen häufig die symmetrischen Differentialgleichungen zu einer gegebenen Symmetriegruppe relevant sind, ist es zur Durchführung des Reduktionsverfahrens zudem erforderlich, auch ein Erzeugendensystem für die symmetrischen polynomiellen Vektorfelder, welche einen Modul über der Invariantenalgebra bilden, angeben zu können. Wir zeigen, dass sich mit geeigneter Lokalisierung die Anzahl der für diesen Modul benötigten Erzeuger auf n beschränken lässt, sofern wir die Auswahl der Symmetriegruppe geringfügig einschränken. Sowohl für die Invarianten als auch für die symmetrischen Vektorfelder kann dabei an einem Punkt dieselbe Lokalisierung verwendet werden. Die Existenzbeweise im allgemeinen Fall werden zudem für den Spezialfall toraler Gruppen konkretisiert. Im Sinne der Ausgangsproblematik sehr großer Erzeugendensysteme der Invariantenalgebra tritt bei diesem Gruppentyp stets der bestmögliche Fall ein, d.h. die Anzahl der benötigten Erzeuger kann bei unserem lokalen Reduktionsverfahren sogar auf n-s beschränkt werden. Darüber hinaus geben wir an, wie die benötigten Erzeuger (sowohl für die Invarianten als auch für die symmetrischen Vektorfelder) berechnet werden können, ohne dass die Kenntnis eines Erzeugendensystems der Invariantenalgebra erforderlich ist. Wir veranschaulichen dies anhand einiger konkreter Beispiele.In this doctoral thesis we modify the familiar orbit space method for symmetry reduction of polynomial ordinary differential equations on $\mathbb{R}^{n}$ oder $\mathbb{C}^{n}$, with the goal of developing a more feasible reduction method. The symmetries of such differential equations form a linear algebraic group. When this group is non-trivial and the algebra of polynomial invariants of the symmetry group can be finitely generated, a generator set of the invariant algebra yields a reduction map. This approach is known as orbit space reduction. This reduction method can often be problematic in practice, since even for relatively simple groups minimal generator systems of the invariant algebra may be very large, therefore the image of the reduction map is complicated and can only be embedded in a high-dimensional vector space. Thus this method is often unfeasible. On the other hand it is also possible to reduce via rational invariants. Here the minimal number of generators of the field of rational invariants is limited by n-s+1, where n is the initial dimension and s the generic orbit dimension of the symmetry group. But with rational invariants the problem of uncontrolled denominators appears. For instance, interesting invariant sets, which are induced by the symmetry, may be lost, and the existence of a reduction at a certain point cannot be guaranteed. In view of the specific problems of both reduction methods we develop a middle ground approach, with the goal of resolving the issues of very large generator sets as well as uncontrolled denominators, thus combining the advantages of the two approaches. For this purpose we apply suitably chosen localizations. Using invariant sets which are induced by the symmetry group, we show that at a given point, at which the reduction is to be carried out, there exists a localization such that the appearing denominators do not vanish at this point, and the number of required generators for the invariants is limited to at most n-s+2. Such a generator set thus yields a local reduction map to an algebraic variety, which has a codimension of at most 2 in its ambient space. In applications one is often interested in the symmetric differential equations of a given symmetry group. Therefore, in order to apply the reduction method a generator system for the symmetric polynomial vector fields, which form a module over the invariant algebra, is also required. We show that by using suitable localizations the number of generators for this module can be limited to n, provided that we impose minor restrictions on the symmetry group. For the invariants as well as for the symmetric vector fields one can use one and the same localization at a given point. The existence proofs in the general case will then be specialized to toral groups. Considering the initial problem of very large generator systems of the invariant algebra, the best possible scenario occurs for this type of group, for the number of generators can even be limited to n-s by our reduction method. Furthermore we show how to compute the required generators (for the invariants as well as symmetric vector fields), without a priori knowledge of a generator system of the invariant algebra. We illustrate the results with some concrete examples.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
German
Externe Identnummern
HBZ: HT021137994
Interne Identnummern
RWTH-2021-10085
Datensatz-ID: 834702
Beteiligte Länder
Germany
