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| 024 | 7 | _ | |2 HBZ |a HT021220672 |
| 024 | 7 | _ | |2 Laufende Nummer |a 41032 |
| 024 | 7 | _ | |2 datacite_doi |a 10.18154/RWTH-2022-01186 |
| 037 | _ | _ | |a RWTH-2022-01186 |
| 041 | _ | _ | |a English |
| 082 | _ | _ | |a 510 |
| 100 | 1 | _ | |0 P:(DE-588)1251278612 |a Lotterstedt, Stefan |b 0 |u rwth |
| 245 | _ | _ | |a A model of a hyperelastic body via hyperbolic conservation laws and lower semicontinuity of a matrix kinetic energy functional |c vorgelegt von Stefan Lotterstedt, M.Sc. |h online |
| 246 | _ | 3 | |a Ein Modell eines hyperelastischen Körpers mittels hyperbolischer Erhaltungsgleichungen und Unterhalbstetigkeit eines matriziellen Kinetische-Energie-Funktionals |y German |
| 260 | _ | _ | |a Aachen |b RWTH Aachen University |c 2022 |
| 300 | _ | _ | |a 1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme |
| 336 | 7 | _ | |0 2 |2 EndNote |a Thesis |
| 336 | 7 | _ | |0 PUB:(DE-HGF)11 |2 PUB:(DE-HGF) |a Dissertation / PhD Thesis |b phd |m phd |
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| 500 | _ | _ | |a Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University |
| 502 | _ | _ | |a Dissertation, RWTH Aachen University, 2022 |b Dissertation |c RWTH Aachen University |d 2022 |g Fak01 |o 2022-01-21 |
| 520 | 3 | _ | |a Die kompressiblen isentropen Euler-Gleichungen sind ein System von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen in Abhängigkeit von Zeit und Raum, die die Dynamik eines gegebenen kompressiblen Fluids wie eines (idealen) Gases modellieren, wobei der Einfachheit halber angenommen wird, dass die Entropie in Zeit und Raum konstant ist. In "A variational time discretization for compressible Euler equations" (Cavalletti, Sedjro, Westdickenberg; 2019) ([CSW19]) haben die Autoren gezeigt, dass maßwertige Lösungen dieses Systems im distributionellen Sinn für beliebige räumliche Dimensionen und für beliebige Anfangsdaten existieren (siehe Theorem 1.8 dort). Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir eine modifizierte Version dieses Systems, das wiederum ein Satz von hyperbolischen Differentialgleichungen ist. Wir modellieren nicht mehr eine Flüssigkeit, sondern bewegte Objekte: Betrachten wir z. B. ein Objekt im Universum, das ein Schwarzes Loch passiert und dabei verzerrt wird (dieser Effekt wird als Spaghettifizierung bezeichnet, da der Teil des Objekts, der sich näher am Schwarzen Loch befindet, stärkeren Gravitationskräften ausgesetzt ist als die weiter entfernte Seite) sowie eine Geschwindigkeitsänderung und damit eine Änderung der kinetischen Energie. Wir betrachten hyperelastische Materialien, d. h. das Objekt kehrt in seinen ursprünglichen Zustand zurück, wenn keine Kräfte einwirken. Wir ziehen uns auf diesen Fall zurück, da die Dynamik solcher Objekte in der Elastizitätstheorie eingehend untersucht worden ist. Mathematisch gesehen führt diese Änderung der Einstellung notwendigerweise zu einer (vernünftigen) Beschränkung auf die räumliche Dimension d < 4 und zu einer neuen inneren Energie des hyperelastischen Materials, die die Spannungen und Dehnungen speichert, die es in Form seines so genannten Deformationsgradienten erfährt. Eine gute Wahl für das neue interne Energiefunktional ist durch die Elastizitätstheorie motiviert und ein Spezialfall der sogenannten Formänderungsnergiefunktionen, die in "On the convexity of Nonlinear Elastic Energies in the Right Cauchy-Green Tensor" (Yang, Neff, Roventa, Thiel; 2017) untersucht wurden. Wie in [CSW19] konstruieren wir Lösungen des modifizierten Systems, indem wir die Zeitvariable diskretisieren und in jedem Zeitschritt ein Optimal-Transport-Problem lösen, indem wir die Summe des sogenannten minimalen Arbeitsfunktionals plus der internen Energie des Materials am Ende des gegebenen Zeitschritts minimieren, um eine obere Abschätzung der Gesamtenergie des hyperelastischen Materials zu erhalten. Nachdem man auf diese Weise diskrete Näherungslösungen des Systems erhalten hat, kann man durch konvexe Interpolation der diskreten Näherungslösungen, wie in [CSW19] und in "Minimal acceleration for the multi-dimensional isentropic euler equations" (Westdickenberg; 2020) vorgestellt, die Existenz exakter maßwertiger Lösungen für beliebige Anfangsdaten nachweisen. In [CSW19] konstruieren die Autoren eine Folge von Näherungslösungen (\rho_\tau,u_\tau)_\tau, \tau > 0, der Euler-Gleichungen, wobei jedes \rho_\tau ein endliches, nicht-negatives Borel-Maß ist, das die Massenverteilung modelliert, und jedes u_\tau ein \R^d-bewertetes Vektorfeld ist, das quadratisch-integrabel in Bezug auf \rho_\tau ist und die Geschwindigkeitsverteilung des Fluids modelliert. Betrachten wir die approximative Folge des Impulses \left(m_\tau:=\rho_\tau u_\tau\right)_\tau, die eine Folge von \R^d-wertigen Borel-Maßen ist, die absolut stetig bezüglich \rho_\tau sind. Da die Euler-Gleichungen insbesondere die Dynamik des Impulses des Fluids modellieren, ist es von Bedeutung, die Struktur der Folge im Grenzwert im folgenden Sinne zu bewahren: Nehmen wir an, dass (m_\tau)_\tau schwach gegen ein Grenzmaß m für \tau -> 0 konvergiert. Wenn wir eine gleichmäßige Schranke für die kinetische Energie der Folge von Näherungslösungen voraussetzen (die, mathematisch gesprochen, eine gleichmäßige Schranke für die L^2(\rho_\tau)-Norm der Vektorfelder u_\tau ist), dann gilt m=:\rho u für ein geeignetes Borel-Maß \rho und ein Geschwindigkeitsfeld u, wobei (\rho,u) die maßwertige Lösung der Euler-Gleichungen ist. Ein wesentlicher Bestandteil des Beweises ist die Unterhalbstetigkeit des Funktionals (\rho,m=\rho u) |-> \|u\|_{L^2(\rho)} bezüglich schwacher Konvergenz. Im zweiten Teil der Arbeit übertragen wir dieses Ergebnis auf ein neues Setting: Wenn man das oben erwähnte Minimierungsproblem (minimales Arbeitsfunktional plus innere Energie des Fluids) in ein Sattelpunktproblem umwandelt, ergeben sich auf natürliche Weise \R^{d x d}-wertige Borelmaße, d. h. \R^{d x d}-wertige Abbildungen, bei denen jede Komponente ein signiertes, endliches Borelmaß ist. Wir ersetzen die reellwertigen Borelmaße \rho_\tau durch \R^{d x d}-wertige Borelmaße M_\tau, die \R^d-wertigen Geschwindigkeitsfelder u_\tau durch \R^{d x d}-wertige Felder F_\tau und die L^2(\rho_\tau)-Norm durch die noch zu definierende L^2(M_\tau)-Norm. Aufgreifen des Konzepts einer Matrixversion des Radon-Nikodým-Theorems in "The square-integrability of matrix-valued functions with respect to a nonnegative Hermitian measure" (Rosenberg; 1964), indem man P_\tau:=F_\tau M_\tau in geeigneter Weise definiert, wird P_\tau tatsächlich zu einer Folge von \R^{d x d}-wertigen Borel-Maßen. Ähnlich zum vorherigen Fall erhalten wir Unterhalbstetigkeit bezüglich schwacher Konvergenz des Funktionals (F,P: =FM) |-> \|F\|_{L^2(M)} und unter der Voraussetzung, dass die L^2(M_\tau)-Norm der Folge (F_\tau)_\tau gleichmäßig beschränkt ist, ist das Grenzmaß P einer schwach konvergenten Folge (P_\tau:=F_\tau M_\tau)_\tau absolut stetig im Matrixsinne, d. h. es gilt P=FM für eine geeignete \R^{d x d}-wertige Funktion F und ein \R^{d x d}-wertiges Borel-Maß M. Im zweiten Teil des Kapitels präsentieren wir eine äquivalente Formulierung schwach konvergenter Folgen (M_\tau,F_\tau M_\tau)_\tau |-> (M,FM) für \tau -> 0. |l ger |
| 520 | _ | _ | |a The compressible isentropic Euler equations are a system of hyperbolic partial differential equations depending on time and space that model the dynamics of a given compressible fluid such as an (ideal) gas, where, for simplicity, the entropy is assumed to be constant in time and space. In "A variational time discretization for compressible Euler equations" (Cavalletti, Sedjro, Westdickenberg; 2019) ([CSW19]), the authors have shown that measure-valued solutions of this system exist in the distributional sense for arbitrary spatial dimension and for any given initial data (see Theorem 1.8 there). In the first part of this thesis, we study a modified version of this system which is again a set of hyperbolic differential equations. We do not model a fluid any more, but moving objects: Consider for instance an object in the universe passing a black hole and thus experiencing stress and strain (this effect is called spaghettification since the part of the object which is closer to the black hole receives stronger gravitational forces than the side which is more remote) and a change in velocity, hence a change in kinetic energy. We consider hyperelastic materials, meaning that the object returns to its original state in absence of applied forces. We retract to this case since the evolution of such objects has been under firm investigation in elasticity theory. Mathematically, this change of setting necessarily leads to the (reasonable) restriction to spatial dimension d < 4 and to a new internal energy of the hyperelastic material memorizing the stress and strain that it experiences in terms of its so-called deformation gradient. A good choice for the new internal energy functional is motivated by elasticity theory and a special case of the so-called strain energy density functions investigated in "On the convexity of Nonlinear Elastic Energies in the Right Cauchy-Green Tensor" (Yang, Neff, Roventa, Thiel; 2017). Like in [CSW19], we construct solutions of the modified system by discretizing the time variable and by solving, in every time step, an optimal-transport problem by minimizing the sum of the so-called minimal work functional plus the internal energy of the material at the end of the given time step in order to gain an upper estimate of the total energy of the hyperelastic material. After thereby achieving discrete approximate solutions of the system, convex interpolation of the discrete approximate solutions as presented in [CSW19] and in "Minimal acceleration for the multi-dimensional isentropic euler equations" (Westdickenberg; 2020) makes it possible to establish the existence of exact measure-valued solutions for any given initial data. In [CSW19] the authors construct a sequence of approximate solutions (\rho_\tau,u_\tau)_\tau, \tau > 0, of the Euler equations, where every \rho_\tau is a finite, nonnegative Borel measure modeling the mass distribution and every u_\tau is an \R^d-valued vector field square-integrable with respect to \rho_\tau modeling the velocity distribution of the fluid, respectively. Consider the approximate sequence of momenta \left(m_\tau:=\rho_\tau u_\tau\right)_\tau which is a sequence of \R^d-valued Borel measures absolutely continuous with respect to \rho_\tau. Since the Euler equations particularly model the evolution of the momentum of the fluid, it is of importance to conserve the structure of the sequence in the limit in the following sense: Assume that (m_\tau)_\tau narrowly converges to a limit measure m for \tau -> 0. If we prescribe a uniform bound on the kinetic energy of the sequence of approximate solutions (which, mathematically speaking, is a uniform bound on the L^2(\rho_\tau) norm of the vector fields u_\tau), then there holds m=:\rho u for a suitable Borel measure \rho and a velocity field u, where (\rho,u) is the measure-valued solution of the Euler equations. An essential ingredient of the proof is lower semicontinuity of the functional (\rho,m=\rho u) |-> \|u\|_{L^2(\rho)} with respect to narrow convergence. In the second part of the thesis, we transfer this result to a new setting: if one transforms the minimization problem (minimal work functional plus internal energy of the fluid) mentioned earlier into a saddle point problem, there naturally arise \R^{d x d}-valued Borel measures, i. e. \R^{d x d}-valued mappings such that every component is a signed, finite Borel measure. We replace the real-valued Borel measures \rho_\tau by \R^{d x d}-valued Borel measures M_\tau, the \R^d-valued velocity fields u_\tau by \R^{d x d}-valued fields F_\tau and the L^2(\rho_\tau) norm by the yet to be defined L^2(M_\tau) norm. Picking up the concept of a matrix version of the Radon-Nikodým theorem in "The square-integrability of matrix-valued functions with respect to a nonnegative Hermitian measure" (Rosenberg; 1964) by defining P_\tau:=F_\tau M_\tau in a suitable way, P_\tau actually becomes a sequence of \R^{d x d}-valued Borel measures. Similarly to the primary case, we obtain lower semicontinuity with respect to narrow convergence of the functional (F,P:=FM) |-> \|F\|_{L^2(M)} and, provided the L^2(M_\tau) norm of the sequence \left(F_\tau\right)_\tau is uniformly bounded, the limit measure P of a narrowly converging sequence (P_\tau:=F_\tau M_\tau)_\tau is absolutely continuous in the matrix sense, i. e. there holds P=FM for a suitable \R^{d x d}-valued function F and an \R^{d x d}-valued Borel measure M. In the second part of the chapter, we give an equivalent notion of narrowly converging sequences (M_\tau,F_\tau M_\tau)_\tau |-> (M,FM) for \tau -> 0. |l eng |
| 588 | _ | _ | |a Dataset connected to Lobid/HBZ |
| 591 | _ | _ | |a Germany |
| 653 | _ | 7 | |a elasticity theory |
| 653 | _ | 7 | |a hyperbolic conservation laws |
| 653 | _ | 7 | |a hyperelasticity |
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