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000846871 245__ $$aLocking and brittle fracture in isogeometric Reissner-Mindlin plate and shell analysis$$cGeorgia Kikis$$honline, print
000846871 260__ $$aAachen$$bRheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, Fakultät für Bauingenieurwesen, Lehrstuhl für Baustatik und Baudynamik$$c2022
000846871 300__ $$a1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme
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000846871 500__ $$aDruckausgabe: 2022. - Auch veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
000846871 502__ $$aDissertation, RWTH Aachen University, 2022$$bDissertation$$cRWTH Aachen University$$d2022$$gFak03$$o2022-02-25
000846871 5203_ $$aDie vorliegende Arbeit befasst sich mit zwei zentralen Themen, der Behandlung von Versteifungseffekten im Rahmen einer isogeometrischen Reissner-Mindlin-Schalenformulierung und der korrekten Beschreibung des spröden Bruches in Reissner-Mindlin Platten und Schalen mit Hilfe eines Phasen-Feld Modells. In beiden Fällen wird die Geometrie durch die Mittelfläche der Struktur repräsentiert und mit Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) Funktionen interpoliert, die im Bereich des CAD sehr verbreitet sind. Ein Direktor-Vektor-Feld wird benutzt, um die Dickenrichtung zu beschreiben. Da nur kleine Verformungen betrachtet werden, wird der Direktor-Vektor durch eine Differenzvektorformulierung berechnet. Zusätzlich zu den drei Verschiebungen werden zwei Rotationsfreiheitsgrade, die die Querschubeffekte erfassen, definiert. Bezüglich des ersten Ziels der Behandlung von Versteifungseffekten im Rahmen der isogeometrischen Analyse liegt der Fokus auf den zwei Versteifungseffekten die in der vorliegenden Reissner-Mindlin-Schalenformulierung auftreten, nämlich den Querschubversteifungen und Membranversteifungen. Diese unerwünschten Effekte führen zu einer überhöhten Systemsteifigkeit, einer Unterschätzung der Verformung und Oszillationen in den Spannungsresultierenden. Sie werden ausgeprägter mit abnehmender Dicke, beziehungsweise im Kirchhoff-Limit. In einem ersten Schritt wird eine Methode zur Eliminierung von Querschubversteifungen in Platten und Schalen vorgestellt. Die Methode basiert auf der Tatsache, dass Querschubversteifungen durch eine Unstimmigkeit der Approximationsräume der Verschiebungen und Rotationen in der Kompatibilitätsbedingung der Schubverzerrungen entstehen. Daher werden für die zwei Rotationen angepasste Approximationsräume definiert, und zwar sind ihre Basisfunktionen in Richtung der relevanten Rotation um einen Polynomgrad niedriger als für die Verschiebungen. Die drei unterschiedlichen Kontrollnetze werden aus der gleichen Ausgangsgeometrie mit unterschiedlicher Polynomgrad-Erhöhung erzeugt. Das bedeutet, dass das isogeometrische Konzept immer noch erfüllt ist. Die Netze haben die gleiche Anzahl an Elementen und zusammen formen sie das globale Netz, das für die schwache Form des Gleichgewichts eingesetzt wird. Die Effizienz und Genauigkeit der Methode wird anhand von numerischen Beispielen untersucht. Die Ergebnisse unterstreichen die Überlegenheit der Methode gegenüber der herkömmlichen Reissner-Mindlin-Schalenformulierung die keine Maßnahmen gegen Versteifungseffekte enthält. Oszillationen in den Spannungsresultierenden werden eliminiert und es zeigt sich, dass die Methode konkurrenzfähig zu anderen Methoden ist, die in der isogeometrischen Analyse gegen Versteifungseffekte eingesetzt werden. Die Methode ist außerdem allgemein für jeden Polynomgrad anwendbar und führt im Vergleich zu der herkömmlichen Schalenformulierung zu weniger Freiheitsgraden im Gleichungssystem.In einem zweiten Schritt wird eine gemischte Verschiebungs-Spannungs-Methode basierend auf dem Hellinger-Reissner Variationsprinzip vorgestellt, um sowohl die Membranversteifungen als auch die Querschubversteifungen in Platten und Schalen zu reduzieren. Die Spannungsresultierenden, die mit diesen Versteifungseffekten zusammenhängen werden als zusätzliche Unbekannten berücksichtigt und müssen mit speziell gewählten Basisfunktionen interpoliert werden. In den entsprechenden Richtungen der Spannungskomponenten werden Ansatzfunktionen gewählt, die um ein Polynomgrad niedriger sind als bei den Verschiebungen und Rotationen. Die zusätzlichen Unbekannten, die für die gemischten Formulierungen benutzt werden, werden im Allgemeinen durch statische Kondensation aus dem resultierenden Gleichungssystem eliminiert. Im Gegensatz zu der klassischen Finite Elemente Methode, in der C0 kontinuierliche Ansatzfunktionen benutzt werden, und in der die statische Kondensation auf Elementebene durchgeführt wird, ist das in der isogeometrischen Analyse durch die hohe Kontinuität der Funktionen nicht mehr möglich. Die statische Kondensation muss nun auf Patchebene erfolgen, was die Inversion einer Matrix auf Patchebene beinhaltet und zu einer vollbesetzten Steifigkeitsmatrix führt. Dies wiederum erhöht den Berechnungsaufwand und daher werden zwei lokale Methoden vorgestellt, die statische Kondensation auf Elementebene ermöglichen. Die erste Methode enthält Spannungsresultierenden die diskontinuierlich über die Elementgrenzen definiert sind. Sie führt zu einer dünnbesetzten Steifigkeitsmatrix mit der gleichen Bandbreite wie die herkömmliche verschiebungsbasierte Schalenformulierung. Es zeigt sich, dass diese Methode die Ergebnisse für niedrige Polynomgrade verbessert und durch den niedrigen Berechnungsaufwand besonders attraktiv ist. Aufgrund der Diskontinuität der Spannungsresultierenden werden die Versteifungseffekte jedoch nicht ganz eliminiert und die Ergebnisse werden für höhere Polynomgrade nicht erheblich verbessert. In der zweiten lokalen Methode wird ein Rekonstruktionsalgorithmus benutzt und die lokalen Kontrollvariablen werden gewichtet, um die verschmierten globalen Variablen zu ermitteln. In den numerischen Beispielen wird gezeigt, dass diese Methode fast die gleiche Genauigkeit wie die globale Methode auf Patchebene besitzt, jedoch führt sie im Gegensatz zu dieser zu einer Bandmatrix als Steifigkeitsmatrix und dadurch, dass sie teilweise auf Elementebene definiert ist reduziert sie die Gesamtberechnungskosten. Die gemischte kontinuierliche Methode auf Patchebene und die gemischte rekonstruierte Methode sind konkurrenzfähig gegenüber anderen Methoden, die gegen Versteifungseffekte eingesetzt werden. Das zweite wesentliche Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Phasen-Feld Modells zur Beschreibung des spröden Bruches bei isogeometrischen Reissner-Mindlin Platten und Schalen. Ein kontinuierliches Riss-Phasen-Feld, das auf der Schalenmittelfläche definiert ist und mit NURBS Basisfunktionen interpoliert wird, wird benutzt, um den Übergang zwischen gerissenem und ungerissenem Material zu beschreiben. Da Reissner-Mindlin Formulierungen sowohl für dünne als auch für dicke Strukturen benutzt werden, ist ein Bruchversagen aufgrund von Querschubverformungen möglich. Daher liegt ein besonderer Fokus auf der Einbindung der Querschubverzerrung in das Phasen-Feld Modell. Die spektrale Zerlegung für die Zug-Druck Aufteilung wird auf den gesamten Verzerrungstensor angewandt, der über die Dicke variiert, um ein unphysikalisches Bruchverhalten in Druckbereichen zu vermeiden. Der ebene Spannungszustand kann nicht mehr durch eine einfache Eliminierung der Normalverzerrungen und Normalspannungen in Dickenrichtung aus dem Materialmodell erfolgen, sondern muss numerisch erzwungen werden. In jedem Integrationspunkt über die Dicke wird die Normalverzerrung in Dickenrichtung durch einen lokalen Algorithmus mit quadratischer Konvergenz bestimmt, um die Normalspannung in Dickenrichtung auf null zu bringen. Die Fähigkeit des Phasen-Feld Modells für spröden Bruch die Rissbildung, das Risswachstum und die Rissverschmelzung in Platten und Schalen korrekt darzustellen wird anhand von verschiedenen Beispielen untersucht. Ein Vergleich mit zwei bestehenden Formulierungen, einem 3D Solid und einer Kirchhoff-Love Schale, wird durchgeführt. Es wird gezeigt, dass im Falle von dünnen Platten und Schalen eine gute Übereinstimmung zwischen den drei unterschiedlichen Elementarten zu beobachten ist. In den Fällen jedoch wo Scherung eine entscheidende Rolle spielt, unterscheiden sich die Ergebnisse der Kirchhoff-Love Schale von den anderen zwei da die erstere keine Querschubverformungen berücksichtigt.$$lger
000846871 520__ $$aThe present work focuses on two main topics, the treatment of locking effects in the framework of an isogeometric Reissner-Mindlin shell formulation and the correct description of brittle fracture in Reissner-Mindlin plates and shells using a phase-field model. In both cases the geometry is described by the mid-surface of the structure with Non-Uniform Rational B-Spline (NURBS) basis functions that are common in CAD tools and a director vector field is used for the description of the thickness direction. Since only small deformations are considered, the director vector is updated using a difference vector formulation. In addition to the three displacements, two rotational degrees of freedom that account for the transverse shear effects are defined.Regarding the first objective of treating locking in the framework of isogeometric analysis, the focus lies on the two main locking effects that occur in the present Reissner-Mindlin shell formulation, namely, transverse shear locking and membrane locking. These undesirable effects lead to an artificial stiffening of the system, an underestimation of the deformation and oscillations in the stress resultants. They are intensified with a decreasing thickness, i.e. in the Kirchoff limit. In a first step, a method to eliminate transverse shear locking in plates and shells is introduced. The method is based on the fact that transverse shear locking occurs due to a mismatch of the approximation spaces of the displacements and rotations in the strain formulation. Thus, adjusted approximation spaces are defined for the two rotations, namely, their basis functions are in the relevant direction one order lower than the ones of the displacements. The three different control meshes are created using the same starting geometry and applying different degrees of refinement. This way, the isogeometric concept still holds. The meshes have the same number of elements and together they form the global mesh which is used in the weak formulation. The efficiency and accuracy of the method is assessed with the help of numerical examples. The results highlight the superior behavior of the method compared to the standard Reissner-Mindlin shell formulation without any anti-locking measures. Oscillations in the stress resultants are eliminated and the method is shown to be competitive with other methods used in isogeometric analysis against locking. It is generally applicable for any polynomial degree and leads to less degrees of freedom in the system of equations compared to the standard shell formulation. In a second step, a displacement-stress mixed method based on the Hellinger-Reissner variational principle is proposed in order to alleviate both membrane and transverse shear locking in plates and shells. The stress resultants that are related to these locking effects are considered to be additional unknowns and have to be interpolated with carefully chosen shape functions. Namely, in the relevant direction, one order lower splines are chosen for the stress resultants than for the displacements and rotations. The additional unknowns that are used in mixed formulations are in general eliminated from the resulting system of equations using static condensation. In contrast to the classical finite element method where C0-continuous shape functions are used and static condensation is performed on the element level, in isogeometric analysis the high continuity of splines does not allow that anymore. Static condensation has to be performed on the patch level, which includes the inversion of a matrix on the patch level and leads to a fully populated stiffness matrix. This on the other hand increases the computational cost and thus, two local approaches are proposed that enable static condensation on the element level. The first one includes stress resultants that are defined discontinuously across the element boundaries and leads to a sparse matrix that has the same bandwidth as the standard displacement-based shell formulation. It is shown that this method improves the results for low polynomial degrees and is attractive due to its low computational cost. However, because of the discontinuity of the stress resultant fields locking is not completely eliminated and the results are not greatly improved for higher polynomial degrees. In the second local approach, a reconstruction algorithm is used and the local control variables are weighted in order to compute blended global variables. In the numerical examples it is shown that this method has almost the same accuracy as the global approach on the patch level, however, in contrast to that it leads to a banded stiffness matrix and is computed partly on the element level, thus, reducing the overall computational cost. The mixed continuous approach on the patch level and the mixed reconstructed approach are competitive compared to other methods used against locking.The second main objective of this work is the development of a phase-field model for the description of brittle fracture in isogeometric Reissner-Mindlin plates and shells. A continuous crack phase-field which is defined on the shell mid-surface and interpolated with NURBS basis functions is used to describe the transition between cracked and uncracked material. Since Reissner-Mindlin formulations are used for both thin and thick structures, fracture due to transverse shear deformations is possible. Thus, a special focus lies on the incorporation of the transverse shear strains in the phase-field model. The spectral decomposition for the tension-compression split is applied on the total strain tensor, which varies through the thickness, in order to avoid unphysical fracture in compressive areas. The plane stress condition cannot be applied by a simple elimination of the thickness normal strain and thickness normal stress from the constitutive law but has to be enforced numerically. In each integration point through the thickness, the thickness normal strain is computed using a local algorithm with quadratic convergence in order to achieve a zero thickness normal stress. The ability of the phase-field model of brittle fracture to correctly describe crack initiation, propagation and merging in plates and shells is assessed with the help of various numerical examples. A comparison to two existing formulations, namely, a 3D solid and a Kirchhoff-Love shell is carried out. It is shown that in the cases of thin plates and shells a good agreement between the three different element types is observed. However, in cases where shearing plays a crucial role, the results of the Kirchhoff-Love shell differ from the other two since it does not consider transverse shear deformations.$$leng
000846871 536__ $$0G:(GEPRIS)266714483$$aAngepasste Approximationsräume und Mehrfeldfunktionale zur Eliminierung von Versteifungseffekten für isogeometrische Schalenelemente (266714483)$$c266714483$$x0
000846871 536__ $$0G:(GEPRIS)417002380$$aTRR 280: Konstruktionsstrategien für materialminimierte Carbonbetonstrukturen – Grundlagen für eine neue Art zu bauen (417002380)$$c417002380$$x1
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