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Eisenstein series for the orthogonal group $O(2,n)$. = Eisensteinreihen zur orthogonalen Gruppe $O(2,n)$.
2022
Dissertation, RWTH Aachen University, 2022
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
; ;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-08-15
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-08607
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/853111/files/853111.pdf
Einrichtungen
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Fourier coefficients (frei) ; Hecke theory (frei) ; modular forms (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene skalarwertige Eisensteinreihen zur orthogonalen Gruppe O(2,n), bei der das zugrunde liegende Gitter zwei hyperbolische Ebenen enthält. Wir betrachten die Fourier-Koeffizienten der Eisensteinreihen, die in Analogie zu elliptischen Eisensteinreihen, Jacobi-Eisensteinreihen bzw. Siegel-Eisensteinreihen definiert sind. Das Hauptaugenmerk liegt auf den Fourier-Koeffizienten der Siegelschen Eisensteinreihen für die Standardspitze. Für maximale Gitter beweisen wir die Rationalität der Fourier-Koeffizienten und dass sie zum Maaß-Raum gehören. Außerdem beweisen wir, dass die Ergebnisse für alle Lokalisierungen des Gitters gelten, die maximal sind. Dies gilt also auch für nicht-maximale Gitter mit Ausnahme endlich vieler lokalen Stellen. Der Fourier-Jacobi-Koeffizient des Index 1 erweist sich als Jacobi-Eisensteinreihe. Wir geben explizite Formeln für die Fourier-Entwicklung in einigen Fällen und Verbindungen zu anderen bekannten Eisenstein-Reihen an. Wir betrachten auch Eisensteinreihen vom Klingen-Typ, beweisen ihre absolute Konvergenz, beobachten ihr Verhalten unter dem Petersson-Skalarprodukt und beweisen, dass sie den Raum der Nicht-Spitzenformen erzeugen, zumindest wenn das Gitter euklidisch ist. Zum Schluss betrachten wir Hecke-Theorie zur O(2,n+2) und die Anwendung auf die Eisensteinreihen, welche nämlich Hecke-Eigenformen sind. Wir zeigen, dass die Eisensteinreihen die einzigen Nicht-Spitzenformen sind, die Eigenformen einiger Hecke-Operatoren sind. Schließlich zeigen wir mit Hilfe der Methoden von Heim und Krieg (2020), dass die Eisensteinreihen auch für nicht-maximale Gitter zum Maaß-Raum gehören.In this thesis we study various scalar-valued Eisenstein series for the orthogonal group O(2,n) where the underlying lattice contains two hyperbolic planes. We consider the Fourier coefficients of the Eisenstein series defined in analogy to elliptic Eisenstein series, Jacobi Eisenstein series, and Siegel Eisenstein series, respectively. The main focus is on the Fourier coefficients of Eisenstein series of Siegel type for the standard cusp. For maximal lattices, we prove the rationality of the Fourier coefficients, as well as that they belong to the Maaß space. Moreover, we prove that the results hold for all localizations of the lattice which are maximal ones. Thus, this also holds true for non-maximal lattices except for finitely many local places. The Fourier-Jacobi coefficient of index 1 turns out to be a Jacobi-Eisenstein series. We give explicit formulas for the Fourier expansion in some cases and links to other known Eisenstein series. We also consider Eisenstein series of Klingen type, prove their absolute convergence, observe their behavior under the Petersson inner product and prove that they generate the space of non-cusp forms, at least whenever the lattice is Euclidean. Lastly, we deal with Hecke theory for the O(2,n+2) and its applications to Eisenstein series which are Hecke eigenforms. We show that the Eisenstein series are the only non-cusp forms which are eigenforms of some Hecke operators. Finally, using the methods of Heim and Krieg (2020), the Maaß relations of the Eisenstein series hold for non-maximal lattices, too.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT021473201
Interne Identnummern
RWTH-2022-08607
Datensatz-ID: 853111
Beteiligte Länder
Germany
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