Space-time trace finite element methods for partial differential equations on evolving surfaces

Sass, Hauke; Lehrenfeld, Christoph; Reusken, Arnold

doi:41715

Space-time trace finite element methods for partial differential equations on evolving surfaces = Raum-Zeit-Spur-Finite-Elemente-Methoden für Partielle Differentialgleichungen auf sich bewegenden Oberflächen

Sass, Hauke^RWTH*

2022

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Hauke Sass, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2022

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Reusken, Arnold (Thesis advisor)^RWTH* ; Lehrenfeld, Christoph (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-10-21

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-09895
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/854968/files/854968.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
higher order FEM (frei) ; space-time FEM (frei) ; surface PDEs (frei) ; surfactant (frei) ; trace FEM (frei) ; unfitted FEM (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir eine skalare Konvektions-Diffusions-Gleichung auf einer sich bewegenden Oberfläche, die die Surfactantkonzentration in einem Mehrphasenströmungssystem modelliert. Surfactants bezeichnen natürliche oder künstliche Verunreinigungen, die an der Phasengrenze adsobiert werden. Auf der Grundlage dieses parabolischen Modellproblems entwickeln und untersuchen wir effiziente Finite-Elemente-Methoden, die sowohl in diesem Modellproblem als auch in einer weitaus größere Klasse von partiellen Differentialgleichungen auf Oberflächen Anwendung finden. Wir formulieren unsere Differentialgleichung mit Hilfe von Oberflächendifferentialoperatoren in kartesischen Koordinaten. Dies ist für unsere numerischen Verfahren geeignet, insbesondere weil wir eine implizite Beschreibung der Geometrie wählen. Wir betrachten ein Variationsproblem, das unendlich dimensionale Funktionsräume verwendet, die in der Zeit unstetig sind. Dies ist ein guter Ausgangspunkt für eine Raum-Zeit-Finite-Elemente-Diskretisierung, die eine effiziente, zeitschrittweise Implementierung ermöglicht. Basierend auf dieser schwachen Raum-Zeit-Formulierung stellen wir volldiskrete, dem Hintergrundgitter nicht angepasste, Finite-Elemente-Methoden vor, die zeitlich unstetige und räumlich stetige Finite-Elemente nutzen. Es wird eine Raum-Zeit-Variante der parametrischen Spur-Finite-Elemente-Methode höherer Ordnung verwendet. Die Nulllösungen der Approximation einer Level-Set-Funktion definieren eine Lipschitz-stetige Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit, die die sich bewegende Oberfläche stückweise linear approximiert. Wir arbeiten mit einer implementierbaren parametrischen Abbildung, deren Bild eine Approximation höherer Ordnung der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit definiert. Die finiten Elemente aus einem höherdimensionalen, festen Hintergrundgitter werden für die Definition von Test- und Ansatzräumen verwendet. Wir beziehen eine Raum-Zeit-Variante der Volumen-Normalgradienten-Stabilisierung in die Bilinearform ein. Es stellt sich heraus, dass diese Stabilisierung für die theoretische Fehleranalyse und für die Konvergenz optimaler Ordnung in der Praxis entscheidend ist. Wir beschränken uns auf eine lineare Konfiguration und analysieren zwei Varianten dieser neu eingeführten Finite-Elemente-Methoden rigoros. Da die Approximation der Raum-Zeit-Oberfläche zwar stückweise glatt, aber global nur Lipschitz-stetig ist, wirft die Analyse einige zusätzliche Probleme auf, die in einer Situation mit global glatter Geometrie nicht vorhanden sind. Wir leiten mehrere neue Abschätzungen her, um mit unglatten Störungstermen umzugehen, die sich aus der partiellen Integration auf der diskreten Raum-Zeit-Oberfläche in der Analyse ergeben. Für zwei Methoden, von denen eine unsymmetrisch und die andere antisymmetrisch bezüglich der diskreten materiellen Ableitung ist, beweisen wir Wohlgestelltheit und Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung in einer geeigneten Energienorm. Wir validieren unsere Fehleranalyse mit numerischen Experimenten, indem wir die entsprechenden Methoden mit Hilfe des Finite-Elemente-Pakets Netgen\NGSolve\ngsxfem implementieren. Aufgrund des dem Hintergrundgitter nicht angepassten Raum-Zeit-Frameworks sind unsere Methoden sehr robust gegenüber starken Verformungen und topologischen Singularitäten in der Geometrie. Wir veranschaulichen dies anhand verschiedener geeigneter Experimente. Weitere numerische Tests zeigen, dass unsere Finite-Elemente-Methoden höherer Ordnung ebenfalls ausgezeichnete Ergebnisse liefern.

In the present thesis, we consider a scalar convection-diffusion equation posed on an evolving surface that models the surfactant concentration adsorbed at an interface in a multiphase flow system. Based on this parabolic model problem, we develop and study efficient and highly accurate finite element methods that can be used for this model problem and a much larger class of surface partial differential equations in various settings. We formulate our surface equations in terms of surface differential operators in Cartesian coordinates, which is convenient for numerical purposes, especially because we prefer an Eulerian description of the geometry. We consider a variational problem that uses infinite-dimensional function spaces which are discontinuous in time. This is a good starting point for a space-time finite element discretisation that allows for an efficient time stepping implementation. Based on this space-time weak formulation, we present fully discrete Eulerian finite element methods that use discontinuous-in-time and continuous-in-space finite elements. A space-time variant of the higher order parametric trace finite element method is considered. The zero level of the approximation of a space-time level set function defines a Lipschitz continuous space-time manifold that piecewise linearly approximates the evolving surface. We work with a computable parametric mapping whose image defines a higher order approximation of the space-time manifold. The finite elements on a volumetric fixed background mesh are used to define test and trial spaces. We include a space-time variant of the volume normal gradient stabilisation in the bilinear form. It turns out that this stabilisation is crucial for the analysis and optimal order convergence in practice. We restrict ourselves to a linear setting and give a rigorous analysis of two variants of these newly introduced finite element methods. Since the approximation of the space-time surface is piecewise smooth but globally Lipschitz continuous only, the analysis poses several additional issues that are not present in a setting with globally smooth geometry. We derive several novel estimates to deal with non-smooth perturbation terms arising from partial integration on the discrete space-time surface in the analysis. For two methods, one being non-symmetric and one being antisymmetric with respect to the discrete material derivative, we obtain well-posedness and optimal order error bounds in a suitable energy norm. We validate our error analysis with numerical experiments, implementing the corresponding methods in the finite element package Netgen\NGSolve\ngsxfem. Due to the unfitted space-time framework, our methods are very robust concerning strong deformations and topological singularities in the geometry. We illustrate this with various adequate experiments. Further numerical tests show that our higher order finite element methods also perform excellently.

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