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000861343 150__ $$aSFB 1481: Sparsity und singuläre Strukturen$$y2022 -
000861343 371__ $$aProfessor Dr. Holger Rauhut
000861343 371__ $$aProfessor Dr. Benjamin Stamm
000861343 371__ $$aProfessor Dr. Michael Westdickenberg
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000861343 5101_ $$0I:(DE-588b)2007744-0$$aDeutsche Forschungsgemeinschaft$$bDFG
000861343 680__ $$aTrotz enormer Steigerungen der Rechenleistung in den letzten Jahrzehnten stellen die Flut von Daten und die Komplexität der Modelle in aktuellen Anwendungen grundlegende Herausforderungen dar, die mit gesteigerten Rechenkapazitäten allein nicht zu bewältigen sind.Zwei kritische Bereiche sind (1) maschinelles Lernen und Signalverarbeitung mit hochdimensionalen Daten und (2) partielle Differentialgleichungen (PDG) mit Singularitäten. Um die Grenzen in diesen Bereichen deutlich zu verschieben, sind neue Erkenntnisse über die zugrundeliegenden mathematischen Strukturen erforderlich. Obwohl diese beiden Herausforderungen auf den ersten Blick wenig gemeinsam haben, sind wir überzeugt, dass ihre Analyse von miteinander eng verwandten Ideen und Algorithmen profitieren wird, insbesondere von solchen, die auf Sparsity basieren: Die entscheidende Herausforderung besteht darin, Strukturen geringer Komplexität in hohen Dimensionen zu kontrollieren. Wir werden etwa untersuchen, wie ein Prädiktor beim maschinellen Lernen, ein Signal oder die Lösung einer (singulären) PDG auf der Grundlage einer kleinen Anzahl von Parametern beschrieben und effizient berechnet werden kann. Konkrete Beispiele aus dem Antrag sind Sparsity im Sinne von wenigen Nicht-Null-Koeffizienten in einer geeigneten Basisdarstellung, Matrizen und Tensoren mit niedrigem Rang, neuronale Netze, die komplizierte Funktionen mit relativ wenigen Parametern darstellen, und Finite-Elemente-Methoden, die speziell ausgewählte, singuläre Ansatzfunktionen verwenden.Die wichtigsten Forschungsziele des SFB lassen sich wie folgt zusammenfassen.• Entwicklung innovativer Algorithmen und neuer Theorie für Sparsity- und Niedrigrang-Konzepte in der mathematischen Signalverarbeitung (Compressive Sensing) und im Deep Learning.• Systematische Nutzung von Sparsity- und Niedrigrang-Konzepten sowie von neuronalen Netzen für hocheffiziente, numerische Lösungsalgorithmen für partielle Differentialgleichungen, insbesondere für parametrische Gleichungen, kinetische Modelle und geometrische Gleichungen.• Entwicklung und Analysis von numerischen Methoden für anspruchsvolle partielle Differentialgleichungen mit Singularitäten.Der Austausch von Ideen und mathematischen Werkzeugen zwischen den verschiedenen beteiligten Bereichen Analysis, Numerik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Optimierung und Algebra wird zu bedeutenden Fortschritten führen. Basierend auf der Expertise des Konsortiums und angetrieben durch die ausgewählten Beispielprobleme, erwarten wir, dass wir deutliche Auswirkungen sowohl auf die zugrundeliegende mathematische Theorie als auch auf die entsprechenden algorithmischen Methoden erzeugen werden. Mit diesen Entwicklungen werden wir Grundlagen schaffen, die in Zukunft dazu beitragen werden, die Methodik und Technologie in einem breiten Spektrum von Anwendungen voranzubringen, darunter künstliche Intelligenz, Datenverarbeitung, Simulationstechnik und mehr.
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