Gestaltsoptimierung für Eigenwerte elliptischer Operatoren höherer Ordnung
Coordinator
Dr. Kathrin Stollenwerk
Grant period
2017 - 2021
Funding body
Deutsche Forschungsgemeinschaft
DFG
Identifier
G:(GEPRIS)396521072
Note: Die Gestaltsoptimierung ist ein schnellwachsendes Teilgebiet der geometrischen Analysis. Ein Gestaltsoptimierungsproblem wird als ein Minimierungsproblem formuliert: gegeben sei eine Menge A von zulässigen Formen und ein Gebietsfunktional F. Dann wird eine Element aus A gesucht, welches F in A minimiert. Diesen Minimierer wird optimales Gebiet genannt. Ein klassisches Beispiel für ein solches Gestaltsoptimierungsproblem ist die isoperimertische Ungleichung. In diesem Fall ist A die Menge aller offenen Mengen mit vorgegebenem Volumen und F ist der Perimeter eines Gebiets. Hängt das Funktional F nicht nur von einem Gebiet D , sondern auch von einer Lösung einer partiellen Differentialgleichung auf D ab, wird das Vorgehen deutlich komplizierter. In unserem Interesse stehen genau diese Probleme. Im Kern geht es um die folgenden Fragen:a) Existiert ein optimales Gebiet?b) Ist ein optimales Gebiet regulär?c) Wenn es das ist, kann man notwendige Bedingungen für die Optimalität formulieren? Ist das optimale Gebiet eindeutig?Für Probleme, in denen elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung enthalten sind, sind verschiedene Strategien zur Beantwortung der obigen Fragen bekannt. Diese Strategien basieren hauptsächlich auf dem Maximumprinzip, Blow-up-Techniken und Symmetrisierungsargumenten (siehe z.B. Alt/Caffarelli, 1981). All diese Techniken sind allerdings nur anwendbar, wenn partielle Differentalgleichungen von zweiter Ordung involviert sind. Wir hingegen befassen uns mit Gestaltsoptimierungsproblemen, in denen partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung enthalten sind. Die soeben erwähnten Methoden stehen uns also nicht zur Verfügung. In diesem Projekt konzentrieren wir uns auf zwei spezielle Gebietsfunktionale, in denen Lösungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen vierter Ordnung enthalten sind. Zum einem befassen wir uns mit der Grundschwingung und zum anderen mit der Beulllast einer eingeklemmten Platte. Hauptziel dieses Projektes ist es, die neuesten Erkenntnisse zu diesen beiden Gestaltsoptimierungsproblemem voran zu treiben. Da die Methoden, die bei Problemem zweiter Ordnungen erfolgreich waren, hier nicht zur Verfügung stehen, ist die Hauptaufgabe das Entwickeln von neuen zielführenden Methoden. Betreffend der Beullast sind uns kürzlich beachtliche Fortschritte zur Beantwortung der Fragen a) und c) gelungen. Ein Ziel dieses Projekts ist es, diese Ergebnisse zu erweitern und auf das Problem der Grundschwingung zu übertragen. Bezüglich der Regularität eines optimalen Gebiets gibt es derzeit weder für die Beulllast noch für die Grundschwingung Resultate. Inspiriert vom Alt-Caffarelli-Ansatz für elliptische Probleme zweiter Ordnung möchten wir versuchen eine Methode zu entwicklen um von der Regularität der Lösung der partiellen Differentialgleichung auf dem optimalen Gebiet auf die Regularität des optimalen Gebietes selbst zu schließen.
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