Hermitesche Modulformen zweiten Grades

Dern, Tobias

doi:739

Hermitesche Modulformen zweiten Grades

Dern, Tobias (Author)^RWTH*

2004

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Tobias Dern

ImpressumAachen

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2001

Urspr. ersch.: Aachen : Mainz, 2001. ISBN 3-89653-890-X

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-7397
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/95377/files/Dern_Tobias.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Hermitesche Form (Genormte SW) ; Mathematik (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die vorliegende Dissertation behandelt Hermitesche Modulformen zweiten Grades zur vollen Modulgruppe, wobei beliebige Multiplikatorsysteme zugelassen werden. Als Konstruktionsmethoden werden Maaß-Lifts und Borcherds-Produkte vorgestellt. Bei beiden Fällen spielen vektorwertige elliptische Modulformen und ihre Multiplikatorsysteme eine entscheidende Rolle, die daher zunächst untersucht werden. Im Fall des Maaß-Lifts ist die Konstruktion Hermitescher Modulformen mit nicht-trivialen Multiplikatorsystemen bzw. antisymmetrischer Hermitescher Modulformen das Hauptergebnis. Im Fall der Borcherds-Produkte erhält man (meromorphe) Hermitesche Modulformen mit explizit bekannten Divisoren. In beiden Fällen liefern Beispiele neue, bisher unbekannte Hermitesche Modulformen. Als Anwendung wird gezeigt, dass man mit Maaß-Lifts und Borcherds-Produkten in einigen Fällen Erzeuger des graduierten Ringes der Hermiteschen Modulformen bestimmen kann. Man erhält dabei auch alle algebraischen Relationen unter den Erzeugern. Neben den untersuchten Beispielen lassen sich mit der hier verwendeten Methode auch noch in weiteren Fällen Erzeuger graduierter Ringe bestimmen. Der natürliche Rahmen ist dabei die Theorie der Modulformen zu orthogonalen Gruppen. Mittels geeigneter Borcherds-Produkte reduziert man das Problem auf Modulgruppen niedrigeren Grades. Die hiesigen Ergebnisse sind in diesem Sinne auch ein Beitrag zu analogen Untersuchungen von Modulformen höheren Grades.

This PhD-thesis deals with hermitian modular forms of degree 2 with respect to the full modular group. Here arbitrary multiplier-systems are allowed. We construct such modular forms by two methods: on the one hand arithmetical liftings (so-called Maass' lifts) and on the other hand Borcherds' products. In both cases vector-valued elliptic modular forms play an important role. Therefore we first investigate vector-valued elliptic modular forms and their associated multiplier systems. In Maass' case, the main point is the construction of hermitian modular forms with nontrivial multiplier systems as well as antisymmetric forms. In Borcherds' case we get hermitian modular forms with explicitly known divisors. In both cases examples give rise to new hermitian modular forms. As an application we show, that it is possible to find generators of the graded ring of hermitian modular forms using Maass' lifts and Borcherds' products. Since one gets all the algebraic relations among the generators too, there is a purely algebraic description of the graded ring also. Besides the given examples the methods presented in this PhD-thesis can be applied in the same way in other cases too. The natural setting in the general case is the theory of modular forms with respect to orthogonal groups. Using distinguished Borcherds' products, the problem is reduced to modular forms on certain divisors with respect to modular groups of lower degree. In this sense, our results are a contribution to an analogous investigation of modular forms of higher degree also.

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