Ein "sharp interface" Grenzwert mittels verschwindender Volumenfraktion für Zweiphasenströmungen im Nichtgleichgewicht modelliert durch hyperbolische Bilanzgleichungen
Note: Hyperbolische Bilanzgleichungen sind essentielle Modelle um Phänomene der Fluiddynamik zu beschreiben und zu verstehen. Jedoch gibt es noch viele offene und äußerst herausfordernde Fragestellungen die nicht hinreichend verstanden sind. Beispielhaft sei hier auf Turbulenz, Mehrphasenströmungen und auch die Interaktion der beiden Strömungsphänomene verwiesen. Exemplarisch dafür seien die Kelvin-Helmholtz bzw. die Rayleigh-Taylor Instabilitäten genannt. Diese mehrdimensionalen Probleme stellen die Forschung zu hyperbolischen Bilanzgleichungen vor erhebliche Probleme, sowohl in der Analysis als auch in der Numerik. Darüber hinaus gibt es eine Vielzahl an Modellen welche in der Literatur in diesem Zusammenhang genutzt werden. Um relevante Einsichten in die Modelle und deren Vorhersagen zu erhalten, ist ein grundlegendes Verständnis derselben nötig. Auch wenn die Frage nach fundierten mathematischen Vergleichen zwischen den verschiedenen Modellen allgegenwärtig ist, sind nur wenige Resultate verfügbar. In diesem Vorhaben möchten wir den Zusammenhang zwischen zwei kompressiblen hyperbolischen Modellen eingehend untersuchen, welche weit verbreitet in der Literatur Anwendung finden. Wir möchten für ein hyperbolisches Zweiphasenmodell aus der Klasse der symmetrisch hyperbolischen thermodynamisch kompatiblen (SHTC) PDEs den Grenzfall von der diffusen Mischung zur unstetigen Phasengrenze untersuchen, in dem die Volumenfraktion gegen Null strebt. Dafür fokussieren wir uns zunächst auf barotrope Strömungen. Es soll untersucht werden, wie das Grenzmodell und die dazugehörenden Lösungen mit den barotropen Eulergleichungen zusammenhängen. Insbesondere werden wir auch isotherme Zweiphasen - Strömungen mit Phasenübergang untersuchen. Die erzielten Ergebnisse werden wichtige Einsichten in den Zusammenhang zwischen diesen Modellfamilien nichtlinearer hyperbolischer Bilanzgleichungen liefern und die Grundlage für weitere Arbeiten liefern. Aus Sicht der Analysis wird es interessant sein die positiven Ergebnisse zu nutzen, um wichtige Ergebnisse in der Literatur für Eulergleichungen auf komplexere Modelle zu erweitern. Insbesondere für diffuse Mischungsmodelle mit nicht-konservativen Termen sind wichtige Resultate zu erwarten. Für die Numerik werden die Ergebnisse dieses Projektes hilfreich sein in der Zukunft leistungsfähige strukturerhaltenden Verfahren zu entwickeln, welche die hier untersuchten asymptotischen Zustände korrekt berechnen können. Damit trägt dieses Projekt entscheidend zum Vergleich und der einheitlichen Auswahl von Modellen bei, die für dieses Schwerpunktprogramm von hoher Relevanz sind. Auch unterstützt es die Entwicklung numerischer Verfahren mit gewünschten asymptotischen Eigenschaften.
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