Note: In den letzten Jahren haben Erhaltungsgleichungen mit nichtlokalen Flussfunktionen in einem breiten Anwendungsspektrum der Strömungsmechanik wie Gasdynamik, granulare Strömung, Sedimentation, Aggregationsphänomene, Massenbewegungen und Verkehrsströme zunehmend an Bedeutung gewonnen. Im Allgemeinen sollen raumabhängige, nichtlokale Bilanzgleichungen das Zusammenspiel nichtlokaler Interaktionen, die auf mikroskopischer Ebene auftreten, makroskopisch erfassen und sind typischerweise durch nichtlineare Flussfunktionen und Quellterme gekennzeichnet, die von Raumintegralen der Unbekannten abhängen. Die Analyse und numerische Approximation nichtlokaler Gleichungen stellt eine Reihe anspruchsvoller offener Probleme dar, die von der Wohlgestelltheit über das Design geeigneter hochauflösender numerischer Verfahren bis hin zur Quantifizierung von Unsicherheiten reichen. Auf Grundlage der bisher erzielten vielversprechenden Ergebnisse wollen wir die analytische und numerische Untersuchung dieser nichtlokalen Gleichungen weiter vorantreiben und dabei auch die Modellhierarchien zwischen nichtlokalen und lokalen hyperbolischen Bilanzgleichungen sorgfältig untersuchen. Abgesehen von Ergebnissen zur Wohlgestelltheit sind die Analysis und die numerische Approximation nichtlokaler Bilanzgleichungen derzeit wenig erforscht, insbesondere in mehreren Raum-Dimensionen und für Systeme. Mit dem Ziel, die Lücken zwischen Theorie und Anwendung zu schließen, befasst sich dieses Projekt hauptsächlich mit der formalen Herleitung nichtlokaler Gleichungen, Konzepten zum Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Übergängen von nichtlokalen zu lokalen hyperbolischen Bilanzgleichungen, der Entwicklung effizienter numerischer Finite-Volumen-Verfahren hoher Ordnung und der Untersuchung stochastischer Einflüsse in den Anfangsdaten oder der Flussfunktion. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die übergeordnete Zielsetzung des Projekts darin besteht, bedeutsame mathematische Fortschritte in der Theorie und der numerischen Approximation komplexer, nicht-standardisierter Probleme zu erlangen, um die Grundlage für innovative Werkzeuge zur Behandlung aktueller Anwendungen in der Strömungsmechanik zu schaffen.
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