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000973341 245__ $$aThe Robin eigenvalue in exterior domains$$cvorgelegt von Lukas Bundrock, M.Sc.$$honline
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000973341 500__ $$aVeröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
000973341 502__ $$aDissertation, RWTH Aachen University, 2023$$bDissertation$$cRWTH Aachen University$$d2023$$gFak01$$o2023-11-09
000973341 5203_ $$aIn der vorliegenden Arbeit betrachten wir Eigenwerte des Laplace-Operators mit Robin-Randbedingungen, dem sogenannten Robin-Laplacian, im Äußeren einer kompakten Menge. Im Gegensatz zum Robin-Laplacian in beschränkten Gebieten ist das essentielle Spektrum nicht leer. D. Krejcirik und V. Lotoreichik zeigen, dass es genau dann einen diskreten Eigenwert unterhalb des essentiellen Spektrums gibt, wenn $\alpha$, der Parameter der Randbedingung, kleiner als eine vom Gebiet abhängige Konstante $\alpha^*$ ist. Wir zeigen unter Verwendung der Ergebnisse von G. Auchmuty und Q. Han, dass $\alpha^*$ dem kleinsten Eigenwert eines geeigneten Steklov-Eigenwertproblems entspricht. Zusätzlich charakterisieren wir die Existenz von genau $k$ diskreten Eigenwerten des Robin-Laplacians in Abhängigkeit von $\alpha$. Wenn der erste Eigenwert des Robin-Laplacians, $\lambda_1$, diskret ist, betrachten wir ein geometrisches Optimierungsproblem. Wir folgen den Ideen von C. Bandle und A. Wagner und zeigen, dass die Kugel ein lokaler Maximierer von $\lambda_1(\mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega})$ unter allen glatten, beschränkten Gebieten $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, mit festem Volumen ist. Wenn wir Translationen ausschließen, ist die Kugel ein strenger lokaler Maximierer. Außerdem zeigen wir, dass das Außenraumproblem durch Kugelschalen approximiert werden kann und illustrieren den Übergang von einem diskreten Spektrum zu einem essentiellen Spektrum. Des Weiteren zeigen wir, dass die Kugel ein lokaler Maximierer des ersten Steklov-Eigenwertes im Außenraum ist.$$lger
000973341 520__ $$aIn the present thesis we consider eigenvalues of the Robin Laplacian, the Laplace operator with Robin boundary conditions, in the exterior of a compact set. In contrast to the Robin Laplacian in bounded domains, the essential spectrum is not empty. D. Krejcirik and V. Lotoreichik show that there is a discrete eigenvalue below the essential spectrum if and only if $\alpha$, the parameter of the boundary condition, is smaller than a constant $\alpha^*$ which depends on the domain.Using the results of G. Auchmuty and Q. Han, we show that $\alpha^*$ coincides with the first eigenvalue of an appropriate Steklov eigenvalue problem. In addition, we characterize the existence of exactly $k$ discrete eigenvalues of the Robin Laplacian depending on $\alpha$. If the first eigenvalue of the Robin Laplacian $\lambda_1$ is discrete, we consider a geometric optimization problem. We follow the ideas of C. Bandle and A. Wagner and show that the ball is a local maximizer of $\lambda_1(\mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega})$ among all smooth bounded domains $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n $ with fixed volume. If we exclude translations, the ball is a strict local maximizer. In addition, we show that the exterior problem can be approximated by spherical shells and illustrate the transition from a discrete spectrum to an essential spectrum. Furthermore, we show that the ball is a local maximizer of the first Steklov eigenvalue in exterior domains.$$leng
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