Scalable domain decomposition eigensolvers for Schrödinger operators in anisotropic structures

Theisen, Lambert; Henning, Patrick; Stamm, Benjamin; Reusken, Arnold

doi:10.18154/RWTH-2024-06163

Scalable domain decomposition eigensolvers for Schrödinger operators in anisotropic structures = Skalierbare Gebietszerlegungs-Eigenlöser für Schrödinger Operatoren in Anisotropen Strukturen

Theisen, Lambert^RWTH*

2024

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Lambert Theisen, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2024

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2024

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Stamm, Benjamin (Thesis advisor) ; Reusken, Arnold (Thesis advisor)^RWTH* ; Henning, Patrick (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2024-06-13

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2024-06163
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/988413/files/988413.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
asymptotic eigenvalue analysis (frei) ; coarse spaces (frei) ; directional homogenization (frei) ; domain decomposition (frei) ; factorization principle (frei) ; finite element method (frei) ; iterative eigenvalue solvers (frei) ; periodic Schrödinger equation (frei) ; preconditioner (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Diese Arbeit behandelt die Konstruktion und Analyse von skalierbaren Vorkonditionierungsstrategien für das lineare Schrödinger-Eigenwertproblem mit periodischen Potenzialen in anisotropen Strukturen. Da nur einige Dimensionen des Berechnungsgebiets gegen unendlich streben, wird die Eigenwertlücke zwischen dem ersten und zweiten Eigenwert verschwindend gering, was eine signifikante Herausforderung für iterative Löser darstellt. Für diese iterativen Eigenwertlöser stellen wir daher eine quasi-optimale Strategie des Vorkonditionierens vor, die auf dem Prinzip der Spektralverschiebung-und-Invertierung beruht, sodass die iterativen Eigenwertlöser in einer konstanten Anzahl an Iterationen konvergieren. In der Analyse leiten wir eine analytische Faktorisierung der Eigenpaare her und nutzen die direktionale Homogenisierung, um das asymptotische Verhalten zu analysieren. Das resultierende, leicht zu berechnende, Einheitszellenproblem kann innerhalb des Spektralverschiebungs-Vorkonditionierers verwendet werden. Dieser Ansatz führt zu einer gleichmäßig beschränkten Anzahl an Eigenwertlöser-Iterationen. Numerische Beispiele veranschaulichen die Effektivität dieser quasi-optimalen Vorkonditionierungsstrategie, sofern direkte Löser verwendet werden, da die Verschiebestrategie, definitionsgemäß, zu einem kleineren Eigenwert für den resultierenden verschobenen Operator führt, was wiederum zu einer hohen Konditionszahl führt. Weiterhin stellen wir einen zweistufigen Gebietszerlegungs-Vorkonditionierer für iterative lineare Löser vor, um genau dieses Problem zu lösen. Da die Berechnung der quasi-optimalen Verschiebung bereits die Lösung eines spektralen Zellenproblems als Grenz-Eigenfunktion bereitstellt, ist es naheliegend, diese als Generator zu verwenden, um einen Grobraum zu konstruieren. Tatsächlich ist es der Fall, dass der resultierende zweistufige additive Schwarz-Vorkonditionierer unabhängig von der Anisotropie des Gebiets ist, da wir eine Konditionszahl-Schranke unter Verwendung der Theorie der spektralen Grobräume erhalten, obwohl nur eine einzige Basisfunktion pro Teilgebiet benötigt wird. Wir stellen mehrere numerische Beispiele vor, die die Effektivität beider Methoden getrennt veranschaulichen, und kombinieren sie am Ende, um ihre kombinierte Skalierbarkeit zu zeigen.

This thesis presents the construction and analysis of scalable preconditioning strategies for the linear Schrödinger eigenvalue problem with periodic potentials in anisotropic structures. As only some dimensions of the computational domain expand to infinity, the resulting eigenvalue gap between the first and second eigenvalue vanishes, posing a significant challenge for iterative solvers. For these iterative eigenvalue solvers, we provide a quasi-optimal shift-and-invert preconditioning strategy such that the iterative eigenvalue algorithms converge in constant iterations for different domain sizes. In its analysis, we derive an analytic factorization of the eigenpairs and use directional homogenization to analyze the asymptotic behavior. The resulting easy-to-calculated unit cell problem can be used within a shift-and-invert preconditioning strategy. This approach leads to a uniformly bounded number of eigensolver iterations. Numerical examples illustrate the effectiveness of this quasi-optimal preconditioning strategy if direct solvers are used since the shifting strategy, by definition, leads to a smaller eigenvalue for the resulting shifted operator, which, in turn, results in a high condition number. We also provide a two-level domain decomposition preconditioner for iterative linear solvers to overcome this issue. As the calculation of the quasi-optimal shift already offered the solution to a spectral cell problem as limiting eigenfunction, it is logical to use it as a generator to construct a coarse space. Indeed, it is the case that the resulting two-level additive Schwarz preconditioner is independent of the domain's anisotropy since we obtain a condition number bound using the theory of spectral coarse spaces despite the need for only one basis function per subdomain for the coarse solver. We provide several numerical examples illustrating the effectiveness of both methods separately and combine them in the end to show their combined scalability.

OpenAccess:
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