Critical embeddings for tangent-point energies in arbitrary dimensions

Wings, Axel; von der Mosel, Heiko; Wagner, Alfred

doi:10.18154/RWTH-2025-05718

Critical embeddings for tangent-point energies in arbitrary dimensions

Wings, Axel^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Axel Wings, M. Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2025

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)^RWTH* ; Wagner, Alfred (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-04-28

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-05718
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1013814/files/1013814.pdf

Einrichtungen

Projekte

GRK 2326 - GRK 2326: Energie, Entropie und Dissipative Dynamik (320021702) (320021702)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
critical points (frei) ; differential geometry (frei) ; energy landscape (frei) ; fractional sobolev space (frei) ; self-repulsive functional (frei) ; surfaces (frei) ; symmetry (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Dissertation führen wir die verallgemeinerte Tangenten-Punkt-Energie $\mathcal{E}_p^q$ für $\mathcal{C}^1$-Einbettungen einer abstrakten glatten Mannigfaltigkeit $M$ in den euklidischen Raum $\mathbb{R}^n$ ein. Bisher ist die verallgemeinerte Tangenten-Punkt-Energie $\mathrm{TP}^{(p,q)}$ für allgemeine Untermengen des $\mathbb{R}^n$ betrachtet worden. Wir zeigen, dass für $\mathcal{C}^1$-Einbettungen $e:M\to \mathbb{R}^n$ die Gleichheit $\mathcal{E}_p^q(e)=\mathrm{TP}^{(p,q)}$ gilt, solange eine der beiden Energien endlich ist. Zuerst betrachten wir den Energieraum von $\mathcal{E}_p^q$. Zu diesem Zweck untersuchen wir Räume von Funktionen, die von $M$ nach $\mathbb{R}^n$ abbilden. Wir führen einen $\mathcal{C}^1(M,\mathbb{R}^n)$-Raum mit einer Norm ein, die von einer festen $\mathcal{C}^1$-Einbettung abhängt. Des Weiteren führen wir einen fraktionellen Sobolev-Raum $W^{s,q}(M,\mathbb{R}^n)$ ein. Von beiden Räumen zeigen wir, dass sie Banachräume sind. Zudem zeigen wir, dass der fraktionelle Sobolev-Raum ein Unterraum des $\mathcal{C}^1$-Raums ist. Das erlaubt uns, den Energieraum durch ebendiese fraktionelle Sobolev-Regularität zu charakterisieren. Einerseits ist $\mathcal{E}_p^q$ endlich für jede $W^{s,q}$-Einbettung von $M$ in den $\mathbb{R}^n$. Andererseits existiert für jede $\mathcal{C}^1$-Einbettung $e:M\to \mathbb{R}^n$ mit $\mathcal{E}_p^q(e)<\infty$ eine $W^{s,q}$-Einbettung $\hat{e}:M\to \mathbb{R}^n,$ die $e(M)=\hat{e}(M)$ und somit auch $\mathcal{E}_p^q(e)=\mathcal{E}_p^q(\hat{e})$ erfüllt. Als Zweites bestimmen wir die Fréchet-Ableitung der verallgemeinerten Tangenten-Punkt-Energie $\mathcal{E}_p^q$ auf der offenen Menge der $W^{s,q}$-Einbettungen und zeigen von dieser, dass sie sogar stetig ist, also ist $\mathcal{E}_p^q$ stetig Fréchet-differenzierbar. Somit haben wir ein $\mathcal{C}^1$-Funktional, das auf einer offenen Teilmenge eines Banachraums definiert ist. Diese Situation erlaubt uns kritische Punkte auf die übliche Weise zu definieren, nämlich als Punkte, an denen die Ableitung verschwindet. Als Nächstes definieren wir die skalierungsinvariante verallgemeinerte Tangenten-Punkt-Energie $\mathcal{SE}_p^q$ und übertragen obige Resultate auf diese, d. h. $\mathcal{SE}_p^q$ hat denselben Energieraum und ist ebenfalls stetig Fréchet-differenzierbar auf derselben offenen Teilmenge des Banachraums $W^{s,q}(M,\mathbb{R}^n).$ Nun wenden wir uns der skalierungsinvarianten Tangenten-Punkt-Energie $\mathcal{SE}_{2q}^q$ zu, die nur einen Parameter hat und vergleichbar mit der klassischen Tangenten-Punkt-Energie $\mathrm{TP}_q$ ist. Wir untersuchen die Energielandschaft dieses Spezialfalls. Wir weisen die Existenz globaler Minimierer nach. Dann zeigen wir die Existenz von Minimierern in nicht-leeren Symmetrieklassen, welche sich dank Palais' Prinzips der symmetrischen Kritikalität als kritische Punkte von $\mathcal{SE}_{2q}^q$ erweisen. Schließlich konzentrieren wir uns auf Einbettungen von $2$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in den $\mathbb{R}^3,$ also auf Flächen. Mittels eines Symmetriearguments folgern wir, dass für jedes $\mathfrak{g}\ge 4$ mehrere verschiedene Flächen mit Geschlecht $\mathfrak{g}$ existieren, die kritisch für $\mathcal{SE}_{2q}^q$ sind. Genauer erhalten wir mindestens $3$ kritische Flächen mit Geschlecht $\mathfrak{g},$ falls $\mathfrak{g}\ge4$ und $\mathfrak{g}\notin\{5,7,11,\},$ und mindestens $2,$ falls $\mathfrak{g}\in \{5,7,11\}.$

In this thesis, we introduce the generalized tangent-point energy $\mathcal{E}_p^q$ for $\mathcal{C}^1$-embeddings of an abstract smooth manifold $M$ into $\mathbb{R}^n.$ So far, the generalized tangent-point energy $\mathrm{TP}^{(p,q)}$ has been studied for a general class of subsets $\Sigma$ of $\mathbb{R}^n.$ We prove that, for $\mathcal{C}^1$-embeddings $e:M\to \mathbb{R}^n,$ $\mathcal{E}_p^q(e)=\mathrm{TP}^{(p,q)}(e(M))$ whenever one is finite. First, we study the energy space of $\mathcal{E}_p^q$. To this end, we consider spaces of functions that map from $M$ into $\mathbb{R}^n.$ We introduce a $\mathcal{C}^1(M,\mathbb{R}^n)$ space with a norm depending on one fixed $\mathcal{C}^1$-embedding $e:M\to \mathbb{R}^n$ and a fractional Sobolev space $W^{s,q}(M,\mathbb{R}^n).$ We show that both spaces are Banach spaces and that the fractional Sobolev space is a subspace of the $\mathcal{C}^1$ space. This allows us to characterize the energy space in terms of this fractional Sobolev regularity. On the one hand, the generalized tangent-point energy is finite for each $W^{s,q}$-embedding of $M$ into $\mathbb{R}^n.$ On the other hand, for each $\mathcal{C}^1$-embedding $e:M\to \mathbb{R}^n$ with finite generalized tangent-point energy $\mathcal{E}_p^q,$ there is a $W^{s,q}$-embedding $\hat{e}:M\to \mathbb{R}^n$ satisfying $e(M)=\hat{e}(M)$ and, hence, $\mathcal{E}_p^q(e)=\mathcal{E}_p^q(\hat{e}).$Second, we compute the Fréchet derivative of the generalized tangent-point energy $\mathcal{E}_p^q$ on the open set of $W^{s,q}$-embeddings and prove that the Fréchet derivative is even continuous, i.e., the generalized tangent-point energy is $\mathcal{C}^1.$ Consequently, we have a $\mathcal{C}^1$ functional on an open subset of a Banach space. This situation allows us to define critical points in the usual manner as points at which the derivative vanishes.Next, we define the scale-invariant generalized tangent-point energy $\mathcal{SE}_p^q$ and transfer the above results to this version, i.e., it has the same energy space and is also continuously Fréchet differentiable on the same open subset of the Banach space $W^{s,q}(M,\mathbb{R}^n).$Now, we turn to the scale-invariant tangent-point energy with only one parameter $\mathcal{SE}_{2q}^{q},$ which compares to the classical tangent-point energy $\mathrm{TP}_q.$ In this special case, we investigate the energy landscape. We establish the existence of global minimizers. Then, we show the existence of minimizers within non-empty symmetry classes, which, thanks to Palais' principle of symmetric criticality, turn out to be critical points of $\mathcal{SE}_{2q}^q.$Finally, we focus on embeddings of a $2$-dimensional manifold into $\mathbb{R}^3,$ i.e., on surfaces. We use a symmetry argument to conclude that, for each $\mathfrak{g}\ge 4,$ there are several distinct surfaces of given genus $\mathfrak{g}$ that are critical for $\mathcal{SE}_{2q}^{q}.$ More precisely, we get at least $3$ critical surfaces of given genus $\mathfrak{g}$ if $\mathfrak{g}\ge 4$ and $\mathfrak{g}\notin \{5,7,11\},$ and we get at least $2$ if $\mathfrak{g}\in \{5,7,11\}.$

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