Homöostase in Neuronen

Dossing, Daniela; Walcher, Sebastian

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-24858

Homöostase in Neuronen = Homeostasis in neurons

Dossing, Daniela

2008

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Daniela Dossing

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

Umfang200 S. : Ill., graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-07-18

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-24858
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50227/files/Dossing_Daniela.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Hodgkin, Alan L. (Genormte SW) ; Differentialgleichungssystem (Genormte SW) ; Homöostase (Genormte SW) ; Ionentheorie der Erregung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Reduktion (frei) ; Fast-Invarianz (frei) ; Poincaré-Bendixson (frei) ; Tikhonov (frei) ; Steuerung (frei) ; Abbott (frei) ; Reduction (frei) ; Nearly-Invariance (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Neuronen sind in der Lage, ihre elektrischen Aktivitaetsmuster trotz Zellwachstum und variabler extrazellulaerer Bedingungen aufrecht zu erhalten. In diesem Zusammenhang schlugen Abbott et al. im Jahr 1993 vor, dass Neuronen die maximalen Leitfaehigkeiten der verschiedenen Ionenstroeme regulieren koennen. Dieser Ansatz fuehrt zu einer Variante des klassischen Zellmodells von Hodgkin und Huxley (1952), in dem die maximalen Leitfähigkeiten als fixe Parameter aufgefasst wurden. Der Regulationsprozess benötigt Feedbacksysteme, die in der Lage sind, auf Veraenderungen der elektrischen Aktivitaet zu reagieren. In dem hier betrachteten Modell dient die intrazellulaere Calcium-Konzentration als ein solches Feedbacksystem fuer die Regulation der maximalen Leitfaehigkeiten. Der Grund ist darin zu sehen, dass diese Ionen-Konzentration die neuronalen Leitfaehigkeiten mit der elektrischen Aktivitaet verbindet. Entfernt sich das Aktivitaetslevel des Neurons vom Gleichgewichtszustand, dann sorgen die Sensoren dafuer, dass die Leitfaehigkeitswerte dem veraenderten Aktivitaetslevel angepasst werden. Abbott et al. untersuchten dieses Modell und zahlreiche Varianten, in den meisten Faellen mit Hilfe numerischer Simulationen. Das Ziel dieser Arbeit ist eine mathematische Analyse dieser Steuerungsmodelle. Ausgehend von dem Modell von Abbott et al. wird ein fuenfdimensionales Differentialgleichungssystem entwickelt. Als wesentliche Zwischenschritte, die von jeweils eigenstaendigem Interesse sind, koennen angefuehrt werden:(1) Reduktion auf Dimension 2, d.h. bekannte Ansaetze zur Reduktion des vierdimensionalen Systems nach Hodgkin und Huxley auf ein System der Dimension zwei, wie beispielsweise von FitzHugh and Nagumo, werden beschrieben und diesen wird ein neuer Ansatz gegenueber gestellt, der auf dem Kriterium der Fast-Invarianz beruht. Auch ein verwandter Ansatz aus der Singulaeren Stoerungstheorie wird diskutiert.(2) Qualitative Analyse des reduzierten Systems, d.h. die Funktionen sind nicht mehr durch konkrete funktionale Ausdruecke gegeben, sondern durch qualitative Eigeschaften beschrieben wie Positivitaet oder Monotonie. Auf diese Weise lassen sich generelle Aussagen sowohl zu Existenz und Anzahl stationaerer Punkte und zu ihrem jeweiligen Stabilitaetsverhalten als auch zu globalen Eigenschaften des Differentialgleichungssystems treffen. (3) Die maximalen Leitfaehigkeiten werden im Hinblick auf eine moegliche Hopf-Bifurkation als Parameter aufgefasst.(4) Kritische Analyse des Abbott-Modells und des alternativen Steuerungsmodells im Hinblick auf das Erreichen des Targetwertes fuer die intrazellulaere Calciumkonzentration, d.h. das Abbott-Modell wird untersucht und wegen einiger Inkonsistenzen wird ein alternatives Modell zur Steuerung der Homoeostase in Neuronen entwickelt.

Neurons maintain their electrical activity patterns over long periods of time despite of ongoing channel turnover, cell growth and varying extracellular conditions. In order to maintain these fixed patterns Abbott et al. suggested in 1993 that neurons may regulate the maximal conductances for various currents, which leads to a variant of the classical Hodgkin-Huxley model (1952), where the maximal conductance of each ionic current was assumed to be a fixed parameter rather than a dynamical. The regulation process requires feedback systems capable of reacting to changes of electrical activity on different time scales. In the model under consideration, the intracellular calcium concentration serves as such a regulatory feedback element for the regulation of maximal conductances, because this concentration links neuronal conductances to electrical activity. If the activity pattern leaves the equilibrium state the calcium sensors ensure that the values of the conductances are adapted to the modified activity level. Abbott et al. investigated this model and several variants, mostly with the help of numerical simulations. The purpose of this work is a mathematical analysis of these types of models. Based on the models of Abbott et al. a five-dimensional system of differential equations is developed. Intermediate steps of independent interest are(1) Reduction of dimension, that is common approaches to reduce the four-dimensional system of Hodgkin and Huxley to a system of dimension two, as already done by FitzHugh and Nagumo, are described and confronted by a new approach based on the criterion of nearly-invariance. A related approach from singular perturbation theory is also discussed.(2) Qualitative analysis of the reduced system, that is the functions in the model equations are generally characterized by properties like positivity or monotonicity, rather than by concrete functional expressions and the analysis proceeds accordingly. Results as well for the existence and the number of stationary points and their stability as global properties can be received. (3) Maximal conductances are treated as parameters with regard to a possible Hopf bifurcation.(4) Critical analysis of the Abbott model and the alternative model for calcium target concentrations, that is the Abbott model is analysed and due to some inconsistencies an alternative model for the control of homeostasis in neurons is developed.

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