Group rings over the p-adic integers

Eisele, Florian; Nebe, Gabriele

doi:31565

Group rings over the p-adic integers = Gruppenringe über den p-adischen ganzen Zahlen

Eisele, Florian (Author)

2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Florian Eisele

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

Umfang129 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-03-05

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-40425
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/52285/files/4042.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Ganzzahlige Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; integral representation theory (frei) ; representation theory (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 16

Kurzfassung
Die Arbeit „Group Rings over the p-adic Integers” befasst sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen über dem Ring der p-adischen ganzen Zahlen (oder, in der Regel, über algebraischen Erweiterungen von selbigem). Es werden Blöcke von endlichen speziellen linearen Gruppen von Grad zwei über hinreichend großen Erweiterungen der p-adischen Zahlen, Blöcke von Diederdefekt und Blöcke symmetrischer Gruppen behandelt. Ziel ist es jeweils, Basisordnungen dieser Blöcke zu bestimmen, also Ordnungen von minimalem Rang mit der Eigenschaft dass ihre Modulkategorie äquivalent zu der der ursprünglichen Ordnung ist. In der Arbeit werden die arithmetischen Methoden aus der Theorie der Ordnungen in halbeinfachen Algebren mit Methoden aus der modularen Darstellungstheorie endlicher Gruppen und endlich-dimensionaler Algebren (insbesondere derivierten Äquivalenzen) kombiniert. Die Arbeit ist wie folgt strukturiert: Im ersten Kapitel werden die notwendigen Grundlagen aus der Darstellungstheorie endlich-dimensionaler Algebren und Ordnungen behandelt. Im zweiten Kapitel wird eine neue Methode vorgestellt, Algebren über einem Körper der Charakteristik p zu Ordnungen über einem passenden p-adischen Ring zu heben, indem man das Problem auf das analoge Problem für eine andere Algebra zurückführt, welche deriviert äquivalent zur ursprünglichen Algebra ist. Im dritten Kapitel wird diese Methode auf Blöcke von Diederdefekt angewandt. Über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik zwei gibt es eine Klassifikation solcher Blöcke, und einige der Algebren in der Klassifikation ließen sich direkt und im Wesentlichen eindeutig zu Ordnungen liften. Für diese Blöcke hat man somit eine Beschreibung über einem diskreten Bewertungsring, und unter Ausnutzung von derivierten Äquivalenzen zwischen den verschiedenen Blöcken bekommt man schlussendlich solche Beschreibungen für alle Blöcke von Diederdefekt mit mehr als einer Isomorphieklasse einfacher Moduln. Unter anderem führt das zur Lösung eines bislang offenen Problems, welches bisher unbestimmte Skalare in der Klassifikation solcher Blöcke über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik zwei betrifft. Im vierten Kapitel wird die Methode aus dem zweiten Kapitel dann auf die Gruppenringe endlicher spezieller linearer Gruppen von Grad zwei in definierender Charakteristik angewendet. Hier wird gezeigt dass der Gruppenring über einem hinreichend großen endlichen Körper im Wesentlichen eindeutig zum Gruppenring über dem zugehörigen p-adischen Ring liftet. Hier wird ausgenutzt, dass die vorkommenden Blöcke deriviert äquivalent sind zu den Blöcken von Gruppenringen unipotenter oberer Dreiecksmatrizen. Als Korollar folgt die Richtigkeit einer Vermutung von Nebe bezüglich der Basisordnungen der betrachteten Blöcke spezieller linearer Gruppen. Im letzten Kapitel werden dann Blöcke von symmetrischen Gruppen betrachtet. Hier wird zum einen eine abgewandelte Version der Scopes’ Reduktion vorgestellt, zum anderen werden Basisordnungen von Blöcken symmetrischer Gruppen von Defekt zwei bestimmt.

The thesis "Group Rings over the p-Adic Integers" is concerned with the representation theory of finite groups over the ring of p-adic integers (or, usually, an algebraic extension thereof). It deals with blocks of special linear groups of degree two, blocks of dihedral defect and blocks of symmetric groups. In each case the aim is to describe basic orders of such blocks, that is, orders of minimal rank in the Morita equivalence class of the order in question. This thesis combines arithmetic methods from the theory of orders in semi simple algebras with methods from modular representation theory and representation theory of algebras (in particular derived equivalences). The thesis is structured as follows: The first chapter deals with the necessary representation theoretic and order theoretic prerequisites. In the second chapter, a new method is introduced which allows a reduction of the problem of lifting an algebra over a field of characteristic p to an order over an appropriate p-adic ring to the analogous problem for an algebra which is derived equivalent to the original one. In the third chapter the aforementioned method is applied to blocks of dihedral defect. There is a classification of such blocks over an algebraically closed field of characteristic two. Some of the algebras occurring in this classification can be lifted to an essentially unique order by elementary means. By making use of derived equivalences between different algebras in the classification, a description for all blocks of dihedral defect with more than one simple module is obtained. This solves an open problem concerning certain unknown scalars occurring in the classification of blocks of dihedral defect over an algebraically closed field of characteristic two. The third chapter then applies the method developed in the second chapter to blocks of special linear groups of degree two in defining characteristic. It is shown that such blocks have an essentially unique lift to an order over an appropriate p-adic ring, provided the field of coefficients for the group ring is sufficiently large. The crucial fact that is exploited here is that the blocks under consideration are derived equivalent to blocks of group rings of upper triangular unipotent matrices. As a corollary, an open conjecture of Nebe concerning the basic orders of blocks of special linear groups of degree two is proved. The last chapter of the thesis deals with blocks of symmetric groups. It contains a modified version of Scopes' reduction and a description of basic orders of defect two blocks of symmetric groups.

Fulltext:
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