Stabilizability, controllability and optimal strategies of linear and nonlinear dynamical games

Kun, Gábor; Jank, Gerhard

doi:120

Stabilizability, controllability and optimal strategies of linear and nonlinear dynamical games

Kun, Gábor (Author)

2000 & 2001

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Gábor Kun

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2000

UmfangX, 172 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2000

Prüfungsjahr: 2000. - Publikationsjahr: 2001

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Jank, Gerhard (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2000-07-03

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-1202
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/59636/files/01_032.pdf

Einrichtungen

Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften (100000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Dynamisches Spiel (frei) ; Optimale Kontrolle (frei) ; Kontrolltheorie (frei) ; Spieltheorie (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit werden wir neben der optimalen Kontrolltheorie, die dynamische Spieltheorie mit Hilfe linearer und nichtlinearer differentieller Systeme kennenlernen. Im Kapitel 1 werden die wichtigsten Resultate der linearen Kontrolltheorie vorgestellt, wobei auch für einige klassische Behauptungen geänderte Beweise und weiterführende Folgerungen angegeben werden. In diesem Kapitel werden die Werkzeuge, die später benutzt werden, erläutert. Kapitel 2 befaßt sich mit der Theorie linearquadratischer Nash Spiele. Neben den bekannten Sätzen über die optimale Kontrolle, die auch hier mit weiteren Bedingungen über die Existenz und Eindeutigkeit ergänzt werden, beschäftigen wir uns hier mit den Fragen der Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit von Spielen. Im dritten Kapitel werden Riccati Gelichungen kurz vorgestellt, und es wird auch über Approximationsmethoden gesprochen. Danach, im Kapitel 4, findet eine Untersuchung gestörter Spiele statt. Dies bedeutet, dass das System neben den optimalen Kontrollen der Spieler, auch von einem geräuschartigen Signal beeinflußt wird. Hierbei werden Strategien angegeben, die den Einfluss dieses Signals maximal unterdrücken. Untersucht werden auch die Existenz und Eindeutigkeit dieser Strategien. Schließlich wird im fünften Kapitel die Frage beantwortet, unter welchen Annahmen ein Spiel auf endlichem Zeithorizont dieselbe stabilisierenden Eigenschaften besitzt, wie ein auf unendlichem Horizont. Kapitel 6,7,8 dieser Arbeit ist Systemen auf Mannigfaltigkeiten gewidmet. Nach einer kurzen Einführung werden im Kapitel 6 Kontrollsysteme, insbesondere invariante Kontrollsysteme über Lie Gruppen auf Steuerbarkeit und ganz kurz auch auf Stabilisierbarkeit untersucht. Danach wird eine Methode gezeigt, wie man bei steuerbaren nichtlinearen Kontrollsystemen einen optimalen Weg findet. Solche Kurven werden als 'splines' bezeichnet. Es wird auch ein numerisches Verfahren zur erzeugung solcher Kurven auf verschiedenen Lie Gruppen vorgestellt und untersucht. Schließlich werden im Kapitel 8 nichtlineare differentielle Spiele auf Lie Gruppen vorgestellt und es wird die Existenz von Nash-Strategien mit und ohne Randwertproblemen untersucht.

In this work we investigate besides the optimal control theory, also dynamic game theory in case of linear and nonlinear differential systems. In Chapter 1 the most important results of the linear control theory are presented, whereby also for some classical statements modified proof and resuming consequences are indicated. In this section the tools, which are used later, are described. Chapter 2 deals with the theory of linear-quadratic Nash games. Apart from the well-known results on the optimal strategies, which are completed here with further conditions on the existence and uniqueness, we concern here the questions of the controllability and stabilizability of games. In the third chapter, Riccati equations are introduced briefly, and we also discuss approximation methods. Afterwards, in Chapter 4, an investigation of disturbed games takes place. This means that - apart from the optimal controls of the players - the system is influenced by a noise-like signal. Here strategies fur maximal noise reduction are calculated. Also the existence and uniqueness of these strategies are examined. Finally, in the fifth chapter the question is answered, under which assumptions a game on finite time horizon possesses the same stabilizing characteristics, as the one on infinite time horizon. Chapters 6,7,8 of this work are dedicated to systems on manifolds. After a short introduction in Chapter 6 control systems are examined, in particular invariant control systems over Lie groups on controllability and quite briefly also on stabilizability. Afterwards a method is shown, how one explicitely finds an optimal trajectory for controllable nonlinear control systems. Such curves are called ' splines '. Also a numerical algorithm for the constuction of such curves on different Lie groups is presented and examined. Finally, in Chapter 8, nonlinear differential games on Lie groups are presented and the existence of Nash strategies with and without boundary value problems are examined.

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