Analysis of hybrid discontinuous Galerkin methods for incompressible flow problems

Waluga, Christian; Egger, Herbert

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-39481

Analysis of hybrid discontinuous Galerkin methods for incompressible flow problems = Analyse hybrider diskontinuierlicher Galerkin-Methoden für inkompressible Strömungsprobleme

Waluga, Christian

2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christian Waluga

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

UmfangXI, 133 S. : Ill., graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Egger, Herbert (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-02-03

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-39481
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/63021/files/3948.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Finite-Elemente-Methode (Genormte SW) ; Diskontinuierliche Galerkin-Methode (Genormte SW) ; Strömungsmechanik (Genormte SW) ; Navier-Stokes-Gleichung (Genormte SW) ; Fehlerabschätzung (Genormte SW) ; A-priori-Abschätzung (Genormte SW) ; A-posteriori-Abschätzung (Genormte SW) ; Stokes-Gleichung (Genormte SW) ; Gebietszerlegungsmethode (Genormte SW) ; Poisson-Gleichung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; hybride diskontinuierliche Galerkin-Methode (frei) ; gemischte Finite-Elemente-Methode (frei) ; Finite Elemente Methode (frei) ; Finite Elemente höherer Ordnung (frei) ; Inkompressibilität (frei) ; hybrid discontinuous Galerkin method (frei) ; discontinuous Galerkin method (frei) ; high order finite element method (frei) ; incompressible Navier-Stokes equations (frei) ; a posteriori error estimation (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 65N35 * 65N30 * 65N55 * 65N15 * 65N12

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Herleitung und Analyse von Finite Elemente Methoden für die numerische Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, welche die Strömung von Flüssigkeiten und Gasen beschreiben. Es werden die Stabilitäts- und Approximationseigenschaften primaler hybrider diskontinuierlicher Galerkin-Methoden untersucht, welche sich durch ihre lokalen Erhaltungseigenschaften und eine einfache Stabilisierung konvektiver Transport-Terme als vielversprechende Kandidaten für Strömungsberechnungen auszeichnen. Weiterhin erlauben die betrachteten Verfahren auf einfache Weise die Elimination von lokalen Freiheitsgraden, die einfache Implementierung lokal adaptiver Verfahren, und ein hohes Maß an Parallelisierbarkeit, was eine effiziente numerische Lösung ermöglicht. Im Allgemeinen können glatte Anteile der Lösung effizient mit Polynomen hoher Ordnung approximiert werden, während man im Falle lokal weniger glatter Lösungen, z.B. in der Umgebung einspringender Ecken, auf feineren Netzen eine bessere Approximation bezüglich der benötigten Freiheitsgrade erhält. Die Abschätzung des Diskretisierungsfehlers hängt, neben der Approximationseigenschaften der verwendeten Ansatzräume, wesentlich von den Konstanten in bestimmten Stabilitätsabschätzungen ab. Daher wird in der Analyse der betrachteten Verfahren ein besonderes Augenmerk auf die Abhängigkeit dieser Konstanten von der (lokalen) Gitterweite und dem (lokalen) Polynomgrad gelegt. Weiterhin erlaubt die Art der Analyse die Einbeziehung von Netzen mit verschiedenen Elementtypen, die zudem über hängende Knoten verfügen können. Im Anschluss an die Analyse der Methode werden effiziente und zuverlässige Fehlerschätzer für die betrachteten Methoden entwickelt und analysiert. Diese Fehlerschätzer erlauben es, die Lösung anhand von berechenbaren Größen einzugrenzen, und sie erlauben als lokale Indikatoren die Regionen des betrachteten Gebietes ausfindig zu machen, in denen eine Verfeinerung eine wesentliche Verbesserung der Approximationseigenschaften verspricht. Solche Fehlerschätzer sind daher ein essentieller Bestandteil für die Implementierung und Analyse adaptiver Lösungs-Algorithmen. Auch hier wird die Abhängigkeit der oberen und unteren Fehlerschranken explizit im Bezug auf den Polynomgrad angegeben. Schließlich wird anhand eines Modellproblems demonstriert, wie mittels Hybridisierung konforme Finite-Elemente-Diskretisierungen von Problemen auf Teilgebieten über die Gebietsgrenzen hinweg gekoppelt werden können. Die resultierenden hybriden Mortar-Methoden passen dabei in den allgemeinen Rahmen von Gebietszerlegungsmethoden. Obwohl der Schwerpunkt der Arbeit auf numerischer Analysis liegt, werden auch numerische Resultate zur Illustration der theoretischen Aussagen präsentiert, sowie einige Implementierungsaspekte kurz diskutiert.

In this work, we consider the derivation and analysis of finite element methods for the approximate solution of the Navier-Stokes equations, which describe the motion of liquid and gaseous substances. We investigate the stability and approximation properties of primal hybrid discontinuous Galerkin methods, which, due to their local conservation properties and the uncomplicated stabilization of convective transport terms, render themselves as promising candidates for the solution of flow problems. Moreover, the hybrid discontinuous approach facilitates the elimination of local degrees of freedom, the implementation of locally adaptive solvers, and allows for a high level of parallelism. In general, smooth parts of the solution can be efficiently approximated by higher order polynomials, whereas in regions of lower smoothness, e.g., in the vicinity of reentrant corners, one can expect better results by using locally refined meshes. Besides the approximation properties of the underlying ansatz spaces, the upper bound for the discretization error considerably depends on certain constants appearing in the stability bounds. Hence, we explicitly keep track of the dependence of these constants with respect to the (local) mesh-size and the (local) polynomial degree of approximation. The analysis includes meshes with hanging nodes, consisting of different types of elements. Subsequently to the analysis of the method, we derive and analyze efficient and reliable error estimators. These error estimators allow to explicitly compute bounds for the solution and can be used as local indicators to assess the regions in the computational domain, where we can expect a significant improvement of the approximation properties by a local refinement. Such error estimators are an essential ingredient for the implementation and analysis of adaptive solution algorithms. Again, we make the dependence of the lower and upper error bounds explicit with respect to the polynomial degree. Finally, we demonstrate how hybridization techniques can be employed to couple interface problems between conforming finite element discretizations on subdomains. The resulting hybrid mortar methods can be embedded into the framework of domain decomposition algorithms. Although the focus of this work is on numerical analysis, we illustrate our theoretical findings with numerical results and shortly discuss implementation issues.

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