Controlled and conditioned invariant varieties for polynomial control systems

Schilli, Christian; Zerz, Eva; Walcher, Sebastian

doi:urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-075965

Controlled and conditioned invariant varieties for polynomial control systems = Bedingt regelungsinvariante Varietäten für polynomielle Kontrollsysteme

Schilli, Christian

2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Christian Schilli

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (117 Seiten)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Zerz, Eva (Thesis advisor)^RWTH* ; Walcher, Sebastian (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-09-15

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-075965
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/670544/files/670544.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/670544/files/670544.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
polynomial control systems (frei) ; state-space systems (frei) ; invariant sets (frei) ; controlled invariant varieties (frei) ; state feedback (frei) ; polynomial feedback (frei) ; controlled and conditioned invariance (frei) ; output feedback (frei) ; Gröbner bases (frei) ; affine intersection (frei) ; rational feedback (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Hauptziel dieser Thesis ist die Verallgemeinerung des Begriffes der „bedingten Regelungsinvarianz von Unterräumen für lineare Kontrollsysteme“, welcher von G. Basile und G. Marro in den späten Sechzigern eingeführt wurde. Dazu behandeln wir hauptsächlich input-afﬁne Kontrollsysteme mit Output, welche über einem kommutativen, multivariaten, polynomiellen Ring mit reellem oder komplexem Grundkörper deﬁniert sind. Eine gegebene Varietät wird „regelungsinvariant“ für ein solches System genannt, falls wir ein Feedbackgesetz ﬁnden können, so dass die Varietät invariant für den zugehörigen geschlossenen Regelkreises ist; dies bedeutet, dass alle Trajektorien, deren Anfangswert auf der Varietät liegt, auf dieser für alle Zeiten verbleiben. Wir betrachten verschiedene Ansätze für das Feedbackgesetz: polynomielles und rationales Zustandsfeedback sowie polynomielles und rationales Outputfeedback. Falls wir in der Tat ein Outputfeedback ﬁnden können, welches die Varietät invariant für den geschlossenen Regelkreis macht, so nennen wir die Varietät „bedingt regelungsinvariant“.Die vorliegende Arbeit beginnt mit der Legung einer mathematischen Basis, in welcher grundlegende Begriffe und Ergebnisse aus dem Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen, der algebraischen Geometrie sowie der Theorie von Gröbner Basen gegeben werden. Wir entwickeln computeralgebraische Methoden, zum Beispiel zur Bestimmung der Schnittmenge eines afﬁnen Moduls über einem polynomiellen Ring mit einem freien Modul über einer Unteralgebra dieses Ringes oder eines gebrochenen Moduls mit einem Untervektorraum, welche uns dabei unterstützen, die oben genannten Eigenschaften für ein gegebenes Kontrollsystem und einer Varietät zu überprüfen. Ein wichtiges Objekt im Kontext dieser Thesis ist die Menge aller polynomiellen Vektorfelder, welche eine Varietät als invariante Menge besitzen. Die Elemente dieser Menge nennen wir auch polynomielle Vektorfelder auf der Varietät. In der Tat trägt diese Menge eine Modulstruktur über dem betrachteten Polynomring, wie eine Charakterisierung von Invarianz einer Varietät für ein polynomielles Vektorfeld zeigt, und welche ebenfalls einen algorithmischen Zugang zur Bestimmung eines endlichen Erzeugendensystems des Moduls liefert. Weiterhin untersuchen wir die Struktur diese Moduls: Einige Untermoduln werden bestimmt, Beziehungen zwischen diesen herausgestellt, sowie Bedingungen, unter denen die Untermoduln bereits der gesamten Menge der polynomiellen Vektorfelder auf einer Varietät entsprechen. Ausserdem zeigt sich, dass uns der Modul der polynomiellen Vektorfelder auf einer Varietät helfen kann, unseren Begriff der Invarianz mit einem von A. Isidori in den Neunzigern geprägten Begriff der distributionellen Invarianz zu vergleichen, und um die Invarianz einer Varietät auch für rationale Vektorfelder zu charakterisieren.Von diesem Punkt an ist es leicht eine zur Regelungsinvarianz einer Varietät für polynomielle Kontrollsysteme äquivalenten Bedingung zu ﬁnden, welche auf der gegebenen Regelungsmatrix und dem Modul aller polynomiellen Vektorfelder einer Varietät beruht. Wir können Techniken aus der Theorie der Gröbner Basen verwenden, um diese Bedingung zu überprüfen, und, falls diese erfüllt ist, die Menge aller polynomiellen Zustandsfeedbacks bestimmen, welche die Varietät invariant machen. Es zeigt sich, dass diese Menge einen afﬁnen Modul über dem polynomiellen Ring beschreibt. Um nun bedingte Regelungsinvarianz nachzuweisen, müssen wir zeigen, dass die Schnittmenge dieses afﬁnen Moduls mit einem freien Modul über der Unteralgebra, welcher von den einzelnen Komponenten des Outputs erzeugt wird, nicht leer ist. Die oben erwähnten Algorithmen können diesen Nachweis erbringen. Ähnliche Überlegungen führen zu Methoden, welche über die (bedingte) Regelungsinvarianz für rationale Kontrollsysteme mit rationalem Zustands- oder Outputfeedback entscheiden können.

The main goal of this thesis is the generalisation of the notion of “controlled and conditioned invariant subspaces for linear control systems”, introduced by G. Basile and G. Marro in the late sixties. In view of this, we mostly treat input-afﬁne control systems with output, which are deﬁned over a commutative, multivariate, polynomial ring with real or complex ground ﬁeld. A given variety is called “controlled invariant” for such a system if we can ﬁnd a feedback law that causes the closed loop system to have this variety as an invariant set, i.e. all trajectories that start on the variety remain there for all time. Several approaches for the feedback law are made, namely polynomial and rational state feedback as well as polynomial and rational output feedback. If it is indeed possible to ﬁnd an output feedback which makes the variety invariant for the closed loop system, then we call the variety “controlled and conditioned invariant”.The present work begins by giving some mathematical foundation, introducing basic deﬁnitions and results of ordinary differential equations, algebraic geometry and the theory of Gröbner bases. We develop computer algebraic methods, for instance for the determination of the intersection of an afﬁne module over a polynomial ring with a free module over a subalgebra of this ring or of a fractional module with a vector space, which help us to decide the properties described above for a given control system and a variety.One crucial object in the context of this thesis is the set of polynomial vector ﬁelds which leaves a variety invariant. The elements of this set are called polynomial vector ﬁelds on the variety. In fact, this set has a module structure over the considered polynomial ring as a characterisation of the invariance of a variety for a polynomial vector shows, which also gives rise to an algorithmic approach for ﬁnding a ﬁnite generating system of this module. Furthermore, we investigate the structure of this module: Some submodules will be derived, relations between these submodules as well as conditions on which they already coincide with the whole set of polynomial vector ﬁelds on the variety. Moreover, the module of polynomial vector ﬁelds on a variety helps us to compare our notion with one made by A. Isidori in the nineties, called distributional invariance, and to characterise the invariance of a variety even for rational vector ﬁelds.From this point on, it is easy to ﬁnd an equivalent condition for a variety being controlled invariant for a polynomial control system with polynomial state feedback, in terms of the given control matrix and the module of polynomial vector ﬁelds. We may use techniques from the theory of Gröbner bases to check this condition and, in the afﬁrmative case, to derive the set of all polynomial state feedback making the variety invariant. It turns out that this set is an afﬁne module over the polynomial ring. In view of controlled and conditioned invariance, one has to decide if the intersection of this set with a free module over the subalgebra generated by the individual components of the output of the system is non-empty. The above mentioned algorithms will do this task. Similar considerations can be done to ﬁnd methods to decide the controlled (and conditioned) invariance of a variety even for rational systems with rational state/output feedback.

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