Simpliziale Flächen aus kongruenten Dreiecken : kombinatorische Grundlagen und geometrische Beispiele

Strzelczyk, Ansgar Werner; Plesken, Wilhelm; Niemeyer, Alice Catherine

doi:HT020001488

Simpliziale Flächen aus kongruenten Dreiecken : kombinatorische Grundlagen und geometrische Beispiele = Simplicial surfaces with congruent faces : combinatorial foundations and geometric examples

Strzelczyk, Ansgar Werner^RWTH*

2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Ansgar Werner Strzelczyk

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (140 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)^RWTH* ; Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-01-28

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-02377
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/756346/files/756346.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Modulräume (frei) ; Origami (frei) ; Polytope (frei) ; Symmetrien (frei) ; moduli spaces (frei) ; origami (frei) ; polytopes (frei) ; simplicial surfaces (frei) ; simpliziale Flächen (frei) ; symmetries (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Ziel dieser Dissertation ist das Studium simplizialer Flächen aus kongruenten Dreiecken. Zu diesem Studium gehören zwei wesentliche Aspekte: dieTheorie kombinatorischer simplizialer Flächen und die Einbettungstheorie simplizialer Flächen in den dreidimensionalen euklidischen Raum. Zu Beginn dieser Arbeit werden die Grundlagen kombinatorischer simplizialer Flächen wiederholt. Es handelt sich bei simplizialen Flächen um Inzidenzgeometrien. Um einen neuen Umgang mit den Flächen zu ermöglichen, wird ein Operatorzugang zur Konstruktion und Analyse der kombinatorischen simplizialen Flächen vorgestellt. Anhand der Operatoren lassen sich die Flächen nicht nur miteinander vergleichen, sondern auch detailliert konstruieren. Die Operatoren lassen sich bei für die simplizialen Flächen als Mannigfaltigkeiten im euklidischen Raum nur schematisch übertragen. Im Gegensatz zu den Operatoren gibt es eine Verfahren, um die Zerlegung simplizialer Flächen auf kombinatorischer Ebene mit einer Zerlegung der Fläche als Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise zu übertragen. Die notwendige Eigenschaft der simplizialen Flächen sind ausgezeichnete, geschlossene Pfade von Kanten der Länge 2 und 3. Sie werden2-Taillen und 3-Taillen genannt und erlauben es, die Fläche in kleinere Blöcke zu trennen. Umgekehrt lässt sich jede Realisierung im euklidischen Raum auf die Realisierung dieser Blöcke eindeutig zurückführen. Dieses Ergebnis wird als Kriterium, ein minimaler Baublock zu sein, festgehalten. So lassen sich besondere Klassen simplizialer Flächen definieren. Auf der kombinatorischen Seite wird darauffolgend eine Konstruktion aller sphärischen Baublöcke angegeben. Anschließend werden statt allgemeiner simplizialer Flächen solche aus kongruenten Dreiecken studiert. Dazu wird in dem nächsten Schritt die Kongruenz der Dreiecke für abstrakte Dreiecke definiert. Sie drückt sich durch spezielle Kantenfärbungen der simplizialen Fläche aus. Die Kantenfärbung imitiert das Kriterium für Kongruenz von Dreiecken im euklidischen Raum, dass Dreieckegenau dann kongruent zueinander sind, wenn sie drei gleiche Kantenlängen besitzen. Die Kantenfärbung und damit auch Kongruenz wird gruppentheoretisch als Involutionen der symmetrischen Gruppe auf den Dreiecken verstanden und studiert. Durch diesen Zugang können Algorithmen zur Bestimmung aller zulässiger Färbungen formuliert werden. Ebenfalls wird ein Algorithmus zur Bestimmung aller simplizialer Flächen mit und ohne vorgegebene Kantenfärbung präsentiert. Im darauffolgenden Teil wird die Theorie der Realisierungen gefärbter simplizialer Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum intensiver studiert. Die Realisierungsfrage lässt sich durch Ideale und Varietäten auf zwei Weisen formulieren. Im ersten Fall wird das Ideal der Realisierung über dem Polynomring der Koordinaten beschrieben. Im zweiten Fall wird das Ideal über den Einträgen der Grammatrix der Realisierung ausgedrückt. Da das allgemeine Problem, alle Realisierungen einer simplizialen Fläche zu bestimmen, rechnerisch sehr schwierig ist, werden zunächst vereinfachende zusätzliche Erzeuger zu dem Ideal benannt. Diese Erzeuger reduzieren die Lösungsmenge auf spezielle Realisierungen, zum Beispiel solcher, die auf den Ecken injektiv sind. Anschließend wird eine weitere Spezialisierung der Problemstellung durch Vorgabe von Symmetrie präsentiert. Zu Ende werden umfangreiche Daten zu den vorgestellten 2- und 3-Taillen-freien Flächen bereitgestellt. Diese beinhalten viele Realisierungen.

The goal of this thesis is the studies of simplicial surfaces with congruent faces. There are two aspects to this: the theory of combinatorial simplicial surfaces and the theory of embeddings into the three-dimensional Euclidean space. This thesis starts with a review of the fundamental properties of simplicial surfaces. On the combinatorial side simplicial surfaces are incidence geometries. An approach with operators for construction and analysis of simplicial surfaces allows for a new handling of the surfaces. With these operators simplicial surfaces are not only comparable to each other but also constructable in small detail. For realizations of a simplicial surface the operators transport only a schem-taically construction. But in contrast to the operators there is procedure to naturally transfer the decomposition of a combinatorial simplicial surface to the decomposition of the corresponding realizations. The necessary property of simplicial surfaces are special closed edge paths of the lengths 2 and 3. They are called 2-waist or 3-waist respectively. On these waists a decomposition of a simplicial surface into smaller blocks is possible. Every realization in Euclidean three-space can uniquely be deduced by realizations of those blocks. Therefore, simplicial surfaces without 2-waists and 3-waists form a special class of simplicial surfaces. For spherical simplicial surfaces of this type a construction will be given. Up to this point, arbitrary simplicial surfaces were studied. From the non simplicial surfaces with congruent faces are investigated. Accordingly, the congruence of Euclidean triangles will be defined for abstract triangles. It is achieved by an edge colouring of the simplicial surface. The colouring imitates the criteria of Euclidean triangles to be congruent, if and only if they share three edge lengths. The colourings and therefore the combinatorial congruence is then understood in a group theoretical sense as involutions in the symmetric group of the triangles. This approach gives rise to algorithms to compute all admissable edge colouring. Additionally, algorithms to compute all simplicial surfaces with or without an edge colouring are presented. Afterwards, the theory of embeddings of simplicial surfaces into Euclidean three-space is studied more closely. The problem of finding realizations of a given simplicial surface is expressed in ideals. There are two presented possibilities doing so. The first one is to express an ideal in the polynomial ring over the coordinates. The second one is to express an ideal in the entries of the associated gram matrix. To find all realization turns out to be a computationally hard problem. To tackle the problem more efficiently additional generators are added. These generators specialize the solution set, for example to find only realizations that are injective on the vertices. Another specialization of the problem is given by adding symmetry equations. Lastly, an extensive data base of spherical simplicial surfaces without 2- and 3-waists is given. They data base contains several realizations.

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