Dreifach periodische simpliziale Flächen

Wisotzky, Matthias; Plesken, Wilhelm; Niemeyer, Alice Catherine

doi:HT020486828

Dreifach periodische simpliziale Flächen

Wisotzky, Matthias^RWTH*

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Matthias Wisotzky

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (103 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)^RWTH* ; Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-04-21

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-06401
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/792814/files/792814.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Euler-Charakteristik (frei) ; Topologie (frei) ; kristallographische Raumgruppen (frei) ; simpliziale Flächen (frei) ; simpliziale Homologie (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Simpliziale Flächen sind in vielen Gebieten der Mathematik von Bedeutung und simpliziale Approximationen werden oft genutzt, um Eigenschaften von Flächen zu berechnen. Ferner bilden sie die Grundlage des mathematischen Origamis, einer noch jungen Disziplin der Mathematik. Diese Arbeit bietet eine Möglichkeit schnell und ohne Aufwand eine Vielzahl an simplizialen Flächen zu konstruieren und diese zu visualisieren. Für die Konstruktion werden kristallographische Raumgruppen genutzt, weshalb die Ergebnisse viele Symmetrien besitzen und mindestens dreifach periodisch sind. Die Konstruktion beginnt mit einem polyedrischem Fundamentalbereich einer Raumgruppe - solche lassen sich mittels der Voronoi-Dirichlet-Konstruktion leicht bestimmen. Eine in einen solchen Fundamentalbereich eingespannte simpliziale Fläche, dessen Spur in den Wänden des Fundamentalbereichs entweder eine Strecke, welche zwei Kantenmittelpunkte verbindet, oder leer ist, nennen wir Schnitt des Fundamentalbereichs. Diese Schnitte bilden die Bausteine der konstruierten Flächen. Eine dreifach periodische simpliziale Fläche lässt sich wie folgt aus zwei Raumgruppen (mit kompatiblen Fundamentalbereichen) konstruieren: Man setzt die Fundamentalbereiche der einen Gruppe zusammen, um einen Fundamentalbereich der zweiten Gruppe zu erhalten. Nun wählt man Schnitte für die ersten Fundamentalbereiche und wendet die Gruppe darauf an, um als Bahn die gewünschte Fläche zu erhalten. Damit dieses Verfahren funktioniert, sind einige Einschränkungen zu beachten, welche in den Definitionen der kompatiblen Fundamentalbereiche bzw. Schnitte vorgestellt werden. Stets gelingt dies, wenn man eine Raumgruppe, welche eine Spiegelungsgruppe ist, und eine Untergruppe davon wählt. Nun liefert eine geeignete Transversale der Untergruppe in der Gruppe einen zusammenhängenden Fundamentalbereich und jeder lokal passende Schnitt erzeugt eine Fläche. Neben der automatischen Konstruktion beginnt die Arbeit eine Klassifikation solcher Flächen. Hierbei ist das Hauptergebnis, dass sich ein Analogon zur Euler-Charakteristik, die sogenannte Euler-Torus-Charakteristik, ergibt, welche die Periodizität der Fläche ausnutzt. Die Berechnung dieser Invariante lässt sich leicht bewerkstelligen, da eine Version des Satzes von Gauss-Bonnet dafür gezeigt wird. Gesondert untersucht werden Flächen, bei denen die Schnitte in einem Tetraeder liegen und die Raumgruppe durch Spiegelungen erzeugt wird. In diesem Fall lässt sich eine Fläche besonders leicht beschreiben und man erhält aus den Kantengraphen der Fundamentalbereiche der größeren Gruppe ein eindimensionales Gerüst eines simplizialen Komplexes, welcher die Bestimmung des Zusammenhanges der Fläche und der Euler-Torus-Charakteristik erlaubt. Im Rahmen der Arbeit wurde ein Computerprogramm entwickelt, welches es dem Benutzer erlaubt selber Flächen in der Datenstruktur zu erstellen und die gefundenen Invarianten zu bestimmen. Dieses Programm wird in einem Kapitel dokumentiert und wurde für die Erstellung & Visualisierung der Beispiele genutzt.

Simplicial surfaces are an important part of many areas in math and simplicial approximations are often times used to compute properties of surfaces. Further they are the base of mathematical origami. This thesis offers an easy and fast possibility to create a multitude of simplicial surfaces and also to visualize them. For the construction crystallographic space groups are used, so the results have many symmetries and are at least three-periodic. The construction starts with a polyedric fundamental domain of a space group - such can be computed via the Voronoi-Dirichlet-construction. A simplicial surface clamped into such a fundamental domain, whose trace in the walls the of the fundamental domain is either a line segment connecting two edge middlepoints or empty, is called a cut of the fundamental domain. These cuts are the building blocks of the constructed surfaces. A three-periodic surface can be constructed from two space groups (with compatible fundamental domains) as follows: One combines the fundamental domains of the first groups to get a fundamental domain for the second one. After selecting cuts for the fundamental domains of the first group one applies the second group to get the desired surface as the orbit. This only works if some constraints are met which are presented in definitions of compatible fundamental domains respectively compatible cuts. This always succeeds if one selects a reflection group as the first space group and a subgroup of it as the second. Now a suitable transversal of the subgroup in the group provides a connected fundamental domain and every locally fitting cut induces a surface. Next to the automatic construction a classification of such surfaces is started. The main result is an analogon to the Euler-charateristic, the so called Euler-Torus-characteristic, which uses the periodicity of the surface. The computation of this invariant is easily done because a version of the Gauss-Bonnet-theorem is given. In special surfaces created from cuts in a tetrahedron and a space group which is generated by reflections are examined. In this case the surface can be described with ease and from the edge graph of the fundamental domain of the bigger group one obtains a one-dimensional skeleton of a simplicial complex. This complex contains all information to decide whether the surface is connected and to easily compute the Euler-Torus-characteristic. In line with this thesis a computer program was written which allows the user to create surfaces in the data structure and compute their invariants. This program is documented in one chapter and was used for the creation and visualization of the examples.

OpenAccess:
PDF
(zusätzliche Dateien)