Regularity aspects for combinatorial simplicial surfaces

Baumeister, Markus; Niemeyer, Alice Catherine; Plesken gen. Wigger, Wilhelm

doi:10.18154/RWTH-2020-07027

Regularity aspects for combinatorial simplicial surfaces

Baumeister, Markus^RWTH*

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Markus Baumeister

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (235 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)^RWTH* ; Plesken gen. Wigger, Wilhelm (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-04-28

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-07027
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/793575/files/793575.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
combinatorial surface (frei) ; geodesic duality (frei) ; infinite regular extension (frei) ; polygonal complex (frei) ; property lattice (frei) ; regularity (frei) ; simplificial surface (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Viele Eigenschaften kontinuierlicher Flächen (wie Sphären und Tori) übertragen sich auf leichter zu berechnende diskrete Eigenschaften kombinatorischer Flächen. Solche kombinatorischen Flächen entstehen aus Triangulierungen kontinuierlicher Flächen und basieren auf einer Inzidenzstruktur zwischen Mengen von Punkten, Kanten und Facetten. Der Fokus dieser Arbeit sind $\mathit{Regularitätsaspekte}$. Eine kombinatorische Fläche ist regulär, wenn jeder Punkt zu der selben Anzahl von Facetten inzident ist. Die Untersuchung regulärer Flächen ist deutlich einfacher als die Untersuchung generischer Flächen. Eine Kernidee dieser Arbeit ist es, Resultate aus dem regulären Fall auf den generischen Fall zu übertragen. Sie enthält vier Hauptprojekte: $\mathbf{(1)}$ Eine kombinatorische Fläche $S$ kann als $\mathit{Netz}$ mit gleichseitigen Dreiecken in $\mathbb{R}^2$ dargestellt werden. Wir können dieses Netz als Teilmenge eines hexagonalen Gitters auffassen, welches als reguläre kombinatorische Fläche $H$ interpretiert werden kann. Also besteht ein Netz aus einer Menge von Facetten in $H$, sowie einer Menge von Kantenpaaren, wobei jedes dieser Paare einer Kante in $S$ entspricht. Wir beschreiben diese Paare durch Automorphismen von $H$ und untersuchen die von diesen Automorphismen erzeugte Gruppe. Dann zeigen wir eine Korrespondenz zwischen dieser Gruppe und gewissen Eigenschaften von $S$ (wie Orientierbarkeit und der Existenz von Färbungen). $\mathbf{(2)}$ Modifikationen kombinatorischer Flächen werden oft untersucht. Wir betrachten $\mathit{Punktspaltungen}$ kombinatorischer Flächen mit genau einem Rand und suchen Eigenschaften, die unter solchen Modifikationen invariant bleiben. Zur Konstruktion dieser Eigenschaften erweitern wir die kombinatorische Fläche entlang ihrer Randes, sodass jeder neue Punkt zu genau sechs Facetten inzident ist. Diese Konstruktion liefert die $\mathit{unendliche}$ $\mathit{reguläre}$ $\mathit{Erweiterung}$, die unter Modifikationen der ursprünglichen Fläche unverändert bleibt. Im Anschluss klassifizieren wir kombinatorische Flächen über die möglichen Formen dieser Erweiterungen. $\mathbf{(3)}$ Eine kombinatorische Fläche kann aus einer Menge von Facetten konstruiert werden, wenn wir vorgeben, welche Paare von Kanten die gleiche Kante beschreiben. Für jedes Paar kann eine von zwei Identifikationen gewählt werden. Wenn wir alle diese Wahlen simultan umkehren, erhalten wir die $\mathit{geodätisch}$ $\mathit{duale}$ Fläche. Wir charakterisieren reguläre kombinatorische Flächen, die zu ihrer geodätisch dualen Fläche isomorph sind, indem wir eine Korrespondenz zu gewissen Untergruppen von Dreiecksgruppen ausnutzen. In den Fällen, wo jeder Punkt zu genau $d \leq 9$ Facetten inzident ist, erhalten wir eine vollständige Klassifikation. $\mathbf{(4)}$ Diese Arbeit ist nicht komplett theoretisch. Zusammen mit Alice Niemeyer wurde das $\mathtt{GAP}$-Paket $\mathtt{SimplicialSurfaces}$ entwickelt. Dieses Paket enthält effiziente Implementierungen kombinatorischer Flächen und vieler häufiger Algorithmen, sodass der Nutzer sich auf die zugrundeliegende mathematische Struktur konzentrieren kann. Hervorzuheben sind die Bibliothek von Flächen, die Hypothesentests deutlich vereinfacht, und eine flexible Umgebung für eigenen Code, was eine große Vielfalt verschiedener Forschungsanwendungen ermöglicht.

Combinatorial surfaces capture essential properties of continuous surfaces (like spheres and tori) in a discrete manner that lends itself more easily to a computational approach. They arise from triangulations of continuous surfaces and are based on an incidence structure between sets of vertices, edges, and faces. In this thesis, we focus on $\mathit{regularity}$ $\mathit{aspects}$. A combinatorial surface is regular if each vertex is incident to the same number of faces. Studying regular combinatorial surfaces is much easier than studying general combinatorial surfaces. A core idea of this thesis is transferring results for regular combinatorial surfaces to general combinatorial surfaces. The thesis contains four main projects: $\mathbf{(1)}$ A combinatorial surface $S$ can be represented by a $\mathit{net}$ of equilateral triangles in $\mathbb{R}^2$. This net can be interpreted as lying in a hexagonal lattice. The hexagonal lattice can be seen as a regular combinatorial surface $H$. Thus, a net can be described as a set of faces in $H$, together with pairs of edges in $H$, such that each of these pairs corresponds to one edge in $S$. We describe these pairs by automorphisms of $H$ and study the group generated by all these automorphisms. We show a correspondence between certain properties of $S$ (like orientability and existence of colourings) and properties of the generated group. $\mathbf{(2)}$ Modifications of combinatorial surfaces are often studied. We consider $\mathit{vertex}$ $\mathit{splits}$ of combinatorial surfaces with a single boundary and search for properties that are invariant under these modifications. To construct these properties, we extend the combinatorial surfaces along their boundary, such that every added vertex is incident to exactly six faces. This constructs the $\mathit{infinite}$ $\mathit{regular}$ $\mathit{extension}$, which remains unchanged under modifications of the original surface. Then, we classify combinatorial surfaces by the shapes of possible extensions. $\mathbf{(3)}$ A combinatorial surface can be constructed from a set of triangles, together with pairs of edges that should be identified (i. e. interpreted as the same edge). Each such pair allows a choice between two possible identifications. Changing all these choices simultaneously gives a different combinatorial surface, the $\mathit{geodesic}$ $\mathit{dual}$. We characterise those regular combinatorial surfaces that are isomorphic to their geodesic dual, by bringing them into correspondence with certain subgroups of triangle groups. In the finite cases (i. e. every vertex is incident to $d$ faces, with $d \leq 9$), we obtain a full classification. $\mathbf{(4)}$ The thesis is not purely theoretical. Together with Alice Niemeyer, software to support our research was developed: The $\mathtt{GAP}$-package $\mathtt{SimplicialSurfaces}$ encodes combinatorial surfaces and several common algorithms efficiently, allowing the user to focus on the underlying mathematical structure. Notable features include a library of surfaces that greatly facilitates testing of conjectures, and a flexible framework to build custom code for combinatorial surfaces, allowing for a wide variety of different research applications.

OpenAccess:
PDF
(additional files)