Minimisation problems in ideal magnetohydrodynamics

Gerner, Wadim; von der Mosel, Heiko; Peralta-Salas, Daniel; Melcher, Christof

doi:10.18154/RWTH-2020-12414

Minimisation problems in ideal magnetohydrodynamics = Minimierungsprobleme in der idealen Magnetohydrodynamik

Gerner, Wadim^RWTH*

2020 & 2021

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Wadim Gerner, M.Sc.

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (xii, 393 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2021

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Melcher, Christof (Thesis advisor)^RWTH* ; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)^RWTH* ; Peralta-Salas, Daniel (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-12-10

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-12414
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/809159/files/809159.pdf

Einrichtungen

Projekte

GRK 2326: Energie, Entropie und Dissipative Dynamik (320021702) (320021702)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Helizität (frei) ; Magnetohydrodynamik (frei) ; Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungen (frei) ; constrained minimisation problems (frei) ; helicity (frei) ; magnetohydrodynamics (frei) ; topological fluid dynamics (frei) ; topological hydrodynamics (frei) ; topologische Hydrodynamik (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Diese Dissertation beschäftigt sich mit Minimierungsproblemen, die im Zusammenhang mit der Magnetohydrodynamik stehen. Der Hauptteil dieser Arbeit teilt sich in insgesamt 5 Kapitel. Im ersten Kapitel wird gezeigt, dass die magnetische Energie unter der sogenannten Helizitätsnebenbedingung für jeden vorgegebenen Wert einen globalen Minimierer besitzt und dass alle Minimierer Beltramifelder, d.h. Eigenvektorfelder des Rotationsoperators, sind. Dieses Resultat ist für kompakte Mannigfaltigkeiten ohne Rand und glatt berandete, beschränkte Gebiete im $\mathbb{R}^3$ bereits bekannt. Wir verallgemeinern diese Ergebnisse für den Fall abstrakter, kompakter Mannigfaltigkeiten mit Rand und haben damit eine Lücke in der Literatur geschlossen. Im zweiten Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Problem zu gegebenem Volumen ein Gebiet mit diesem Volumen zu finden, sodass die minimale Energie in einer festen Helizitätsklasse auf diesem Gebiet minimal ist unter den minimalen Energien, in der selben Helizitätsklasse, aller anderen Gebiete vom selben Volumen. Dieses Problem wurde mit $\mathbb{R}^3$ als umgebenden Raum bereits in der Literatur betrachtet. Hier verallgemeinern wir die Resultate auf beliebige Riemmansche Mannigfaltigkeiten als umgebenden Raum und leiten eine Variationsungleichung her, die die Geometrie des umliegenden Raumes widerspiegelt. Die Frage nach der Existenz eines optimalen Gebietes ist nach wie vor offen und Gegenstand aktueller Forschung. Im dritten Kapitel liegt der Fokus auf der Feldliniendynamik und der Nullstellenstruktur von Beltramifeldern und damit insbesondere von globalen Energieminimierern. Unsere wichtigsten Resultate sind zum einen die Erkenntnis, dass die Einschränkung eines Beltramifeldes, welches tangential ist, auf den Rand einer einfach zusammenhängenden, kompakten Mannigfaltigkeit ein Gradientenfeld ist und man daher ein gutes Verständnis der Feldlinien auf dem Rand hat. Zum anderen zeigen wir, dass die Hausdorff-Dimension der Nullstellenmenge solcher Vektorfelder höchstens $1$ beträgt. Diese obere Schranke an die Dimension ist bekannt für die Nullstellenmenge im Inneren der Mannigfaltigkeit. Wir zeigen, dass dies auch dann noch der Fall ist, wenn man die Nullstellen auf dem Rand hinzunimmt. Ein derartiges Resultat scheint neu in der Literatur zu sein. Im vierten Kapitel betrachten wir erneut das Minimierungsproblem aus dem ersten Kapitel, aber diesmal unter einer zusätzlichen Symmetrienebenbedingung. Resultate bezüglich der Existenz rotationssymmetrischer Energieminimierer auf Gebieten im $\mathbb{R}^3$ sind in der Literatur bekannt. Wir betrachten erneut eine Verallgemeinerung auf abstrakte Mannigfaltigkeiten, wobei wir neue Argumente entwickeln, um den Fall allgemeiner Killing Vektorfelder zu behandeln. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit Minimierungsproblemen im $\mathbb{R}^3$. Es ist leicht zu zeigen, dass das ursprüngliche Energiefunktional keine globalen Minimierer besitzen kann, wenn man das Energiefunktional über $\mathbb{R}^3$ betrachtet. Daher betrachten wir zwei Varianten des Energiefunktionals unter der Helizitätsnebenbedingung. Für die erste Variante wird bewiesen, dass höchstens Dichotomieeffekte, im Sinne von Lions' "concentration compactness principle", der Grund für die Nichtexistenz von Minimierern sein können. Für die zweite Variante leiten wir notwendige Bedingungen für globale als auch lokale Minimierer her.

This dissertation deals with minimisation problems related to magnetohydrodynamics. The main part of this thesis is divided in 5 chapters. In the first chapter it is shown that the magnetic energy under the so called helicity constraint admits a global minimiser for each prescribed value of the helicity and that all such minimisers are Beltrami fields, i.e. eigenvector fields of the curl operator. This result is already known in the settings of compact manifolds without boundary and bounded domains with smooth boundary in $\mathbb{R}^3$. We generalise these results to the setting of abstract, compact manifolds with boundary and by this we filled a gap in the literature. In the second chapter we consider the problem of finding a domain of prescribed volume for which the minimal energy in a given helicity class becomes minimal among all other minimal energies, in the same helicity class, of domains of the same volume. This problem was considered in the literature in the setting where the ambient space is $\mathbb{R}^3$. We generalise the known results to the setting where the ambient space is any Riemannian manifold and derive a second variation inequality, which contains terms involving the geometry of the ambient space. The question of whether or not an optimal domain exists is still open and subject of current research. In the third chapter the focus lies on the field line dynamics and zero set structure of Beltrami fields, hence in particular of energy minimising vector fields. Our most important results are on the one hand the observation that the restriction of a Beltrami field to the boundary, assuming it is tangent to it, on a simply connected, compact manifold is always a gradient field, which provides us with a good understanding of the boundary field line behaviour. On the other hand we show that the Hausdorff dimension of the zero set is at most one. This upper bound is already known for the zero set in the interior of the manifold. We show that this upper bound stays valid if we include the zeros on the boundary. Such a result appears to be new in the literature. In the fourth chapter we consider again the minimisation problem from the first chapter, but add an additional symmetry constraint. Results concerning the existence of rotationally symmetric Beltrami fields on domains in $\mathbb{R}^3$ are known in the literature. We generalise these results to the setting of abstract manifolds and develop new arguments to deal with general Killing vector fields. The last chapter deals with minimisation problems on $\mathbb{R}^3$. It is easy to see that the original energy functional does not admit any global minimisers if we consider it on the whole $3$-space. That is why we consider two related energies under the helicity constraint. For the first energy it is shown, in view of Lions' "concentration compactness principle", that the only possible obstruction for the existence of global minimisers are dichotomy effects. For the second energy we derive necessary conditions for global as well as local minimisers.

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