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A class of gradient flows of differential forms in negative homogeneous Sobolev spaces = Eine Klasse von Gradientenflüssen von Differentialformen in negativen homogenen Sobolevräumen
2021
Dissertation, RWTH Aachen University, 2021
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-03-19
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-03560
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/816938/files/816938.pdf
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Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Differentialformen (frei) ; Energie-Dissipations-Ungleichung (frei) ; Gradientenflüsse (frei) ; Hodge-Morrey-Friedrichs decomposition (frei) ; Hodge-Morrey-Friedrichs-Zerlegung (frei) ; minimizing movement schema (frei) ; differential forms (frei) ; energy dissipation iInequality (frei) ; gradient flows (frei) ; minimizing movement scheme (frei) ; negative homogene Sobolev-Räume (frei) ; negative homogeneous Sobolev spaces (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
In dieser Arbeit interessieren wir uns für das Lösung einer Klasse von quasilinear parabolischen partiellen Differentialgleichungen für geschlossene Differentialformen, die eine spezielle Struktur aufweisen, nämlich eine Gradientenflussstruktur, und somit zwei Hauptbereiche der mathematischen Analysis, die geometrische Theorie der Differentialformen und die Theorie der Gradientenflüsse, zusammenzubringen. Genauer gesagt betrachten wir für ein beschränktes Gebiet $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $, $ n \ge 2 $, mit glattem Rand und für eine zeitabhängige $ k $-Form $ \omega (t) \colon \Omega \rightarrow \Lambda ^k ( \mathbb{R}^n ) $ die Gradientenflussgleichung $\partial _t \omega \,=\, -\mathop{}\!\mathrm{d} \Big( \nabla c^ \ast \Big[ \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \big( \nabla _ \xi F( \, \cdot \, , \omega )\big) \Big] \Big) $ und $ \mathop{}\!\mathrm{d} \omega \,=\, 0 $. Dabei ist das sogenannte Dissipationspotential $ c \colon \Lambda ^ {k-1}( \mathbb{R}^n ) \rightarrow [0, \infty )$ eine konvexe Funktion mit der Legendre-Fenchel-Transformierten $ c^ \ast $, während $ \nabla _ \xi F $ die Ableitung der Energiedichte $ F \colon \Omega \times \Lambda ^k( \mathbb{R}^n ) \rightarrow \mathbb{R} $ bezüglich ihres zweiten Arguments bezeichnet. Diese Klasse von Differentialgleichungen wurde von Yann Brenier im Jahr 2014 als ein allgemeiner Rahmen für dissipative Gleichungen vorgeschlagen und enthält zum Beispiel die $ p $-Hodge-Laplace-Wärmeleitungsgleichung für geschlossene Differentialformen $ \partial _t \omega = - \mathop{}\!\mathrm{d} ( | \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \omega | ^ {p-2} \, \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \omega ) $. Das Finden schwacher Lösungen der Gradientenflussgleichung ist nicht nur wegen ihrer Nichtlinearität eine anspruchsvolle Herausforderung, sondern auch wegen ihres vektoriellen Charakters, d.h. es handelt sich um ein System von skalaren Differentialgleichungen. Die Gradientenflussstruktur erscheint in Form einer sogenannten Energy Dissipation Inequality (EDI). Auch wenn diese nur auf formaler Ebene äquivalent zur Gradientenflussgleichung ist, spielt sie dennoch eine entscheidende Rolle im Beweis der Existenz von schwachen Lösungen der Differentialgleichung. Um die Existenz von Lösungen der EDI zu beweisen, nutzen wir ein sogenanntes minimizing movement scheme. Dies ist ein zeit-diskretes Approximationsschema, bei dem jeder Zeitschritt aus dem Lösen eines Variationsproblems besteht. Das Variationsproblem beinhaltet die Störung des Energiefunktionals mit dem sogenannten sogenannten Dissipationsfunktional, welches mit Hilfe des Dissipationspotentials $ c $ definiert ist. Dieses Dissipationsfunktional ist eng verwandt mit den Normen der Dualräume von homogenen Sobolev-Räumen für Differentialformen, d.h. von negativen homogenen Sobolev-Räumen, welche hier eingeführt werden. Daher beschreiben diese Räume den natürlichen funktionalanalytischen Rahmen für die in dieser Arbeit behandelten Probleme. Soweit uns bekannt ist, ist dieses Konzept der negativen homogenen Sobolev-Räume für Differentialformen neu. Im Grenzübergang, in dem der Zeitdiskretisierungsparameter, der zur Definition des gestörten Energiefunktionals verwendet wurde, gegen Null geht, konvergiert das Approximationsschema schwach zu einem Grenzwert. Da die EDI bezüglich der schwachen Konvergenz geeignete Unterhalbstetigkeitseigenschaften aufweist, ist der Grenzwert in der Tat eine Lösung der EDI. Bei dem Grenzübergang profitieren wir außerdem auch von Methoden aus der Theorie der kompensierten Kompaktheit wie beispielsweise der Sobolev-Poincaré-Ungleichung in Kombination mit einem Minty-Browder-artigen Argument. Mit etwas zusätzlichem Aufwand können wir auch eine umgekehrte EDI für den Grenzwert beweisen. Als Hauptresultat der Arbeit schließen wir daraus die Existenz einer schwachen Lösung der Gradientenflussgleichung. Im zweiten Teil der Arbeit befassen wir uns mit zusätzlichen Eigenschaften der schwachen Lösungen der Gradientenflussgleichung wie der Eindeutigkeit, einer Halbgruppeneigenschaft der Zeitentwicklung, einer Exponentialformel sowie Fehlerabschätzungen. Dies sind sehr komplizierte Problemstellungen. Da das Konzept der EDI zur Beantwortung dieser Fragen zu schwach ist, verwenden wir stattdessen das stärkere Konzept der Evolution Variational Inequality (EVI). Dieses ist ebenso formal äquivalent zur Gradientenflussgleichung. Allerdings ist dieses Konzept nur in dem Fall $ c( \xi ) = \frac{1}{2}| \xi | ^2 $, in dem das Dissipationsfunktional bis auf ein skalares Vielfaches mit der negativen homogenen Sobolev-Norm für den Fall von Hilbert-Räumen übereinstimmt, verfügbar. Als Hauptresultat des zweiten Teils beweisen wir die Eindeutigkeit der zuvor gefundenen Lösung in einer Klasse von zulässigen Lösungen der EVI, eine Kontraktions- und eine Halbgruppeneigenschaft der Zeitentwicklung sowie eine Exponentialformel zusammen mit einer Fehlerabschätzung. Der Beweis der Exponentialformel und der Fehlerabschätzung wird mittels zweier verschiedener Ansätze geführt.In this thesis we are interested in solving a class of quasilinear parabolic partial differential equations (PDEs) for closed differential forms which exhibit a special structure, namely a gradient flow structure, and thus bringing together two major areas of mathematical analysis, the geometric theory of differential forms and the theory of gradient flows. More precisely, for a bounded domain $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $, $ n \ge 2 $, with smooth boundary and a time-dependent differential $ k $-form $ \omega (t) \colon \Omega \rightarrow \Lambda ^k ( \mathbb{R}^n ) $ we consider the gradient flow equation $\partial _t \omega \,=\, -\mathop{}\!\mathrm{d} \Big( \nabla c^ \ast \Big[ \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \big( \nabla _ \xi F( \, \cdot \, , \omega )\big) \Big] \Big) $ und $ \mathop{}\!\mathrm{d} \omega \,=\, 0 $. Here, $ c \colon \Lambda ^ {k-1}( \mathbb{R}^n ) \rightarrow [0, \infty )$, called the dissipation potential, is a convex function with Legendre-Fenchel dual $ c^ \ast $, whereas $ \nabla _ \xi F $ denotes the derivative of the energy density $ F \colon \Omega \times \Lambda ^k( \mathbb{R}^n ) \rightarrow \mathbb{R} $ with respect to its second argument. This class of PDEs was suggested by Yann Brenier in 2014 as a general framework for dissipative equations and contains for example the $ p $-Hodge Laplace heat equation for closed differential forms $ \partial _t \omega = - \mathop{}\!\mathrm{d} ( | \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \omega | ^ {p-2} \, \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \omega ) $. The problem of finding weak solutions of the gradient flow equation is challenging not only because of its nonlinearity, but also because of its vectorial character, i.e. it is a system of scalar PDEs. The gradient flow structure appears in the form of a so-called Energy Dissipation Inequality (EDI). Although the latter is equivalent to the gradient flow equation only on a formal level, it nevertheless plays an essential role in establishing the proof of the existence of weak solutions for the PDE. In order the prove the existence of solutions of the corresponding EDI, we use a so-called minimizing movement scheme. This is a time-discrete approximation scheme in which each time-step consists of solving a variational problem. The variational problem involves the perturbation of the energy functional with the so-called dissipation functional which is defined using the dissipation potential $ c $. This dissipation functional is closely related to the norms of the duals of homogeneous Sobolev spaces for differential forms, i.e. negative homogeneous Sobolev spaces, which are introduced here. Hence, these spaces define the natural functional analytic setting for the problems addressed in this thesis. To the best of our knowledge, this concept of negative homogeneous Sobolev spaces for differential forms is new. In the limit where the time discretization parameter, used to define the perturbed energy functional, tends to zero the approximation scheme weakly converges to some limit. Since the EDI has well-suited lower semicontinuity properties with respect to the weak convergence, the limit is indeed a solution of the EDI. The limiting process also benefits from compensated compactness methods such as the Sobolev-Poincaré inequality in combination with a Minty-Browder-type argument. With some extra effort we can also prove a reversed EDI for the limit. As the main result of this thesis we conclude from this the existence of a weak solution of the gradient flow equation. In the second part of the thesis we ask for additional properties of the weak solutions of the gradient flow equation such as uniqueness, a semigroup property of the time evolution, an exponential formula as well as error estimates. These problems are very difficult to solve. Because the concept of the EDI is too weak for these questions, we invoke the stronger concept of the Evolution Variational Inequality (EVI). The latter is formally equivalent to the gradient flow equation as well. However, it is only available in the case $ c( \xi ) = \frac{1}{2}| \xi | ^2 $ in which the dissipation functional becomes, up to a scalar multiple, the negative homogeneous Sobolev norm for the case of Hilbert spaces. As the main results for the second part we prove uniqueness of the limit found before in a class of admissible solutions of the EVI, a contraction property and a semigroup property of the time evolution as well as an exponential formula together with an error estimate. The proof of the exponential formula and the error estimate is given by using two different approaches.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT020895720
Interne Identnummern
RWTH-2021-03560
Datensatz-ID: 816938
Beteiligte Länder
Germany
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